高校数学問題を解きまくる– category –

今回はこちらの問題を解いていきます. 数Ⅲの範囲になるので, 文系数学の範囲外の問題になります. (1) 関数\(y=\tan{x}\)に対して, \(\frac{dy}{dx}\)を\(y\)の整式で表せ.(2) 以下の定積分を求めよ.$$\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{\tan^4{x}-\tan^2{x}-2}{...

今回はこちらの問題を解いていきます. \(\alpha\)を\(xyz\)空間内の3点\(A(1,1,-5), B(-1,-1,7), C(1,-1,3)\)を通る平面とし. 点\(P(a,b,t)\)を通り\(\alpha\)に垂直な直線と, \(xy\)平面との交点を\(Q\)とする.(1) 点\(Q\)の座標を求めよ.(2) \(t\)を実数...

今回はこちらの問題を解いていきます. (1) \(t=x+\frac{1}{x}\) \((x\neq 0\)とするとき, \(x^2+x-10+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\)を\(t\)の式で表せ.(2) 4次方程式\(x^4+x^3-10x^2+x+1=0\)を解け. 2次方程式は解の公式で解けますが, 3次方程式, 4次方程式...

今回はこちらの問題を解いていきます. 数列\(\{a_n\}\)\((n=1,2,3,\cdots)\)が以下で与えられている.$$a_n=\frac{1}{1+2+3+\cdots+n}$$このとき, 以下の値を求めなさい.(1) \(a_{59}\)(2) \(a_1\)から\(a_{59}\)までの和 今回の問題は\(a_n\)の一般項を求...

今回はこちらの問題を解いていきます. \(x\)が\(0<x<1\)をみたすとき, 以下の不等式が成り立つことを示せ. (1) \(1+x+x^2<2+x^3\)(2) \(1+x+x^2+\cdots+x^n<n+x^{n+1}\) (ただし, \(n\)は2以上の整数とする)ヒント: \(n\)に関する数学的帰納法...

今回はこちらの問題を解いていきます. 2次関数\(y=x^2\)のグラフと, 3次関数\(y=x^3+x^2-x-1\)のグラフの共通接線を求めよ. (2025 九州大学) 2次関数と3次関数の共通接線を求める問題です. 計算が少しだけハードで高次方程式も登場するので, 計算間違いが...

今回はこちらの問題を解いていきます. \(\triangle{ABC}\)に関して, \(\tan{A}\), \(\tan{B}\), \(\tan{C}\)がすべて整数であるとき, その値を求めよ. (1984 一橋大学) 一橋大学は整数問題の良問が多く, こちらも図形問題に見えますが, 実は整数問題です. ...

今回はこちらの問題を解きたいと思います. \(p\), \(q\)を素数とするとき, \(p^q+q^p\)の形で表せる素数を全て求めよ. (2016 京都大学) これは2016年の京都大学の入試問題で出題された有名問題です. 素数は未だに謎が多く, 多くの数学者がその謎の解明のた...