【香川大学入試】帰納法を使って不等式の証明(2025)

2025年7月11日

今回はこちらの問題を解いていきます.

$x$が$0<x<1$をみたすとき, 以下の不等式が成り立つことを示せ.
(1) $1+x+x^2<2+x^3$
(2) $1+x+x^2+\cdots+x^n<n+x^{n+1}$ (ただし, $n$は2以上の整数とする)
ヒント: $n$に関する数学的帰納法を用いる.
(2025 香川大学)

今回の問題は結局は$n$が2以上の自然数で, $0<x<1$のとき, 不等式$1+x+x^2+\cdots+x^n<n+x^{n+1}$が成り立つことを示す問題です. 解法のヒントとして数学的帰納法を使うことが明示され, また出発点となる$n=2$のときの証明が(1)で誘導されているというとても親切な問題です.

この問題のように$x$が入った不等式を証明する際は, 項を左辺か右辺に寄せて$x$の関数とみなし, $x$の範囲内でその関数が$0$以上、$0$より大きい, $0$以下, $0$未満などを示していけば良いです.

では解いていきます.

(1) 証明したい不等式
$$1+x+x^2<2+x^3$$
を変形すると,
$$2+x^3-(1+x+x^2)>0$$
となる. 元の不等式の証明のためには, この左辺を$f(x)=2+x^3-(1+x+x^2)=x^3-x^2-x+1$とおき, $0<x<1$のとき, $f(x)>0$であることを証明すれば良い. $f(x)$の増減を調べるために, 微分すると,
$$f^\prime(x)=3x^2-2x-1=(3x+1)(x-1)$$
となり, $f^\prime(x)=0$とおくと,
$$x=-\frac{1}{3}, 1$$となる. $0<x<1$の範囲で増減表を書くと,
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x & 0 & \cdots & 1 \\
\hline
f'(x) & – & – & 0 \\
\hline
f(x) & 1 & \searrow & 0 \\
\hline
\end{array}
$$
となり, $f(x)$は$0<x<1$で単調減少であり, $f(1)=0$から$0<x<1$の範囲で$f(x)>0$であることが言える.

(2) 数学的帰納法で証明する. 出発点となる$n=2$は(1)で示している.

$n=k$のとき成り立つと仮定する. つまり$0<x<1$の範囲で以下の不等式が成り立つとする.
$$
1+x+x^2+\cdots+x^k<k+x^{k+1} \,\,\,\,\text{・・・①}
$$
この前提の下, $n=k+1$のときも不等式,
$$
1+x+x^2+\cdots+x^k + x^{k+1}<(k+1)+x^{(k+1)+1}
$$が成り立つことを証明する.

証明したい不等式を変形すると,
$$
(k+1)+x^{k+2}-( 1+x+x^2+\cdots+x^k + x^{k+1})>0
$$
となるので,
$$g(x)=(k+1)+x^{k+2}-( 1+x+x^2+\cdots+x^k + x^{k+1})
$$とおき, $0<x<1$ のとき, $g(x)>0$であることを証明する.

以下のように$g(x)$を変形し, ①の不等式を用いると,
$$
\begin{align}
g(x)&=(k+1)+x^{k+2}-x^{k+1}-( 1+x+x^2+\cdots+x^k)\\
&>(k+1)+x^{k+2}-x^{k+1}-(k+x^{k+1})=x^{k+2}-2x^{k+1}+1
\end{align}$$
となるので,
$$h(x)=x^{k+2}-2x^{k+1}+1$$とおき, $0<x<1$の範囲で$h(x)>0$であることを証明すれば, それは同範囲で$g(x)>0$を証明したこととなる.

$0<x<1$での$h(x)$の増減を調べるため微分すると,
$$
h^\prime(x)=(k+2)x^{k+1}-2(k+1)x^k=(k+2)x^k\left(x-\frac{2(k+1)}{k+2}\right)
$$
となり, $h^\prime(x)=0$とおくと, $x=0$または, $x=\frac{2(k+1)}{k+2}$である. ここで,
$$
\frac{2(k+1)}{k+2}=\frac{(k+2)+k}{k+2}=1+\frac{k}{k+2}>1
$$
であるから, $0<x<1$の範囲で$h(x)$の増減表を書くと,
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x & 0 & \cdots & 1 \\
\hline
h'(x) & 0 & – & – \\
\hline
h(x) & 1 & \searrow & 0 \\
\hline
\end{array}
$$
となる. よって, $h(x)$は$0<x<1$で単調減少であり, $h(1)=0$から$0<x<1$の範囲で$h(x)>0$であることが言える. したがって, $0<x<1$の範囲で$g(x)>0$であることもわかり, $n=k+1$でも与えられた不等式が成り立つことが証明された.

以上から数学的帰納法により, $n$が$2$以上の自然数のときに,
$$
1+x+x^2+\cdots+x^n<n+x^{n+1}
$$
が成り立つことがわかる.