今回はこちらの問題を解いていきます.
\(t>0\)のとき, 以下を示せ.
(1)\(\displaystyle -\frac{1}{t}<\int_t^{2t}\frac{\sin{x}}{x^2}dx<\frac{1}{t}\)
(2) \(\displaystyle \lim_{t\rightarrow \infty}\int_t^{2t}\frac{\cos{x}}{x}dx=0\)
(3) \(\displaystyle \lim_{t\rightarrow \infty}\int_1^{t}\frac{\sin{\left(\frac{3x}{2}\right)}\sin{\left(\frac{x}{2}\right)}}{x}dx=\frac{1}{2}\int_1^2\frac{\cos{x}}{x}dx\)
(2025 大阪大学理系[4])
定積分の大小比較, 三角関数の積和公式, 積分区間の結合, 積分の極限, などさまざまなエッセンスが詰まった良問です. 特に積分区間を模範解答のように変換する問題は私自身はあまり見たことがありません. 積分区間の結合には定積分の以下の2性質をうまく使ってください.
$$
\begin{align}
\int_a^bf(x)dx&=-\int_b^af(x)dx\\
\int_a^bf(x)dx+\int_b^cf(x)dx&=\int_a^cf(x)dx
\end{align}
$$最終的に示したいのは3問目の積分の極限の等式で, 前2問はその導出となっています.
それでは解いていきましょう.
(1) 今考えている積分区間\([t, 2t]\)は\(x=0\)を含まないので, \(x^2>0\)である. \(-1\leq\sin{x}\leq 1\)の全辺を\(x^2(\neq 0)\)で割って,
$$
-\frac{1}{x^2}\leq \frac{\sin{x}}{x^2}\leq \frac{1}{x^2}
$$
を得る. この不等式の全辺を\(x\)で\([t,2t]\)の範囲で積分すると,
$$
\begin{align}
&-\int_t^{2t}\frac{1}{x^2}dx\leq \int_t^{2t}\frac{\sin{x}}{x^2}dx\leq \int_t^{2t}\frac{1}{x^2}dx\\
\iff & \left[\frac{1}{x}\right]_t^{2t}\leq \int_t^{2t}\frac{\sin{x}}{x^2}dx\leq \left[-\frac{1}{x}\right]_t^{2t}\\
\iff & -\frac{1}{2t}\leq \int_t^{2t}\frac{\sin{x}}{x^2}dx\leq \frac{1}{2t}
\end{align}
$$
ここで, \(\frac{1}{2t}<\frac{1}{t}\)であるから,
$$
-\frac{1}{t}<\left(-\frac{1}{2t}\leq\right) \int_t^{2t}\frac{\sin{x}}{x^2}dx\left(\leq \frac{1}{2t}\right)<\frac{1}{t}
$$
となり, 示された.
(2) 部分積分から,
$$
\begin{align}
\int_t^{2t}\frac{\cos{x}}{x}&=\left[-\frac{\cos{x}}{x^2}\right]_t^{2t}-\int_t^{2t}\frac{-\sin{x}}{x^2}dx\\
&=-\frac{\cos{(2t)}}{4t^2}+\frac{\cos{t}}{t^2}+\int_t^{2t}\frac{\sin{x}}{x^2}dx
\end{align}
$$
ここで, \(\left|\cos{(2t)}\right|\leq 1\), \(\left|\cos{(t)}\right|\leq 1\)であるから,
$$
\begin{align}
\left|-\frac{\cos{(2t)}}{4t^2}\right|&=\frac{\left|\cos{(2t)}\right|}{\left|4t^2\right|}\leq\frac{1}{4t^2}\to 0 \,(t\to \infty)\\
\left|\frac{\cos{t}}{t^2}\right|&=\frac{\left|\cos{t}\right|}{\left|t^2\right|}\leq\frac{1}{t^2}\to 0 \,(t\to \infty)
\end{align}
$$となり,
$$
\lim_{t\rightarrow \infty} \frac{\cos{(2t)}}{4t^2} = 0, \,\, \lim_{t\rightarrow \infty} \frac{\cos{t}}{t^2} = 0
$$である.
また, (1)から,
$$
\left|\int_t^{2t}\frac{\sin{x}}{x^2}dx\right|<\frac{1}{t}\to 0 \,(t\to \infty)
$$
より,
$$
\lim_{t\rightarrow \infty} \int_t^{2t}\frac{\sin{x}}{x^2}dx = 0,
$$
となる. 以上から,
$$
\begin{align}
\lim_{t\rightarrow \infty}\int_t^{2t}\frac{\cos{x}}{x}dx&=\lim_{t\rightarrow \infty}\left(-\frac{\cos{(2t)}}{4t^2}+\frac{\cos{t}}{t^2}+\int_t^{2t}\frac{\sin{x}}{x^2}dx\right)\\
&=-\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{\cos{(2t)}}{4t^2}+\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{\cos{t}}{t^2}+\lim_{t\rightarrow \infty}\int_t^{2t}\frac{\sin{x}}{x^2}dx\\
&=-0+0+0=0
\end{align}
$$となり, 示された.
(3) 積和公式より,
$$
\sin{\left(\frac{3x}{2}\right)}\sin{\left(\frac{x}{2}\right)}=-\frac{1}{2}\left(\cos{2x}-\cos{x}\right)
$$であるから,
$$
\int_1^t\frac{\sin{\left(\frac{3x}{2}\right)}\sin{\left(\frac{x}{2}\right)}}{x}dx=
-\frac{1}{2}\int_1^t\frac{\cos{2x}}{x}dx+\frac{1}{2}\int_1^t\frac{\cos{x}}{x}dx
$$となる. ここで, 1つ目の積分を\(y=2x\)として置換積分を行う. 積分範囲は,
$$
\begin{array}{c|ccc}
x & 1 & \rightarrow & t \\
\hline
y & 2 & \rightarrow & 2t \\
\end{array}
$$となり, \(dy=2dx\)から, \(dx=\frac{1}{2}dy\)であるから,
$$
\begin{align}
\int_1^t\frac{\cos{2x}}{x}dx&=\int_2^{2t}\frac{\cos{y}}{\frac{y}{2}}\frac{1}{2}dy=\int_2^{2t}\frac{\cos{y}}{y}dy\\=&\int_2^{2t}\frac{\cos{x}}{x}dx
\end{align}
$$となる(なお, 定積分の値は積分変数に無関係のため, 最後に\(y\)を改めて\(x\)と置き直している).
これを元の積分に戻すと,
$$
\begin{align}
&\int_1^t\frac{\sin{\left(\frac{3x}{2}\right)}\sin{\left(\frac{x}{2}\right)}}{x}dx=-\frac{1}{2}\int_2^{2t}\frac{\cos{x}}{x}dx+\frac{1}{2}\int_1^t\frac{\cos{x}}{x}dx\\
&=\frac{1}{2}\left(\int_
{2t}^{2}\frac{\cos{x}}{x}dx+\int_1^t\frac{\cos{x}}{x}dx\right)\\
&=\frac{1}{2}\left(\int_
{2t}^{2}\frac{\cos{x}}{x}dx+\int_1^t\frac{\cos{x}}{x}dx+\int_t^2\frac{\cos{x}}{x}dx-\int_t^2\frac{\cos{x}}{x}dx\right)\\
&=\frac{1}{2}\left(\int_
{2t}^{2}\frac{\cos{x}}{x}dx+\int_2^t\frac{\cos{x}}{x}dx+\int_1^t\frac{\cos{x}}{x}dx+\int_t^2\frac{\cos{x}}{x}dx\right)\\
&=\frac{1}{2}\left(\int_
{2t}^{t}\frac{\cos{x}}{x}dx+\int_1^2\frac{\cos{x}}{x}dx\right)\\
&=\frac{1}{2}\left(-\int_
{t}^{2t}\frac{\cos{x}}{x}dx+\int_1^2\frac{\cos{x}}{x}dx\right)
\end{align}
$$
ここで, 第１項目の積分は(2)より,
$$
\lim_{t\rightarrow \infty}\int_t^{2t}\frac{\cos{x}}{x}dx=0
$$であり, 第2項目の積分は\(t\)に依らないので, 当然
$$
\lim_{t\rightarrow \infty}\int_1^2\frac{\cos{x}}{x}dx=\int_1^2\frac{\cos{x}}{x}dx
$$である.
よって,
$$
\begin{align}
\lim_{t \to \infty} \int_1^t \frac{\sin\left( \frac{3x}{2} \right) \sin\left( \frac{x}{2} \right)}{x} dx
&= \frac{1}{2} \left( -\lim_{t \to \infty} \int_t^{2t} \frac{\cos x}{x} dx + \lim_{t \to \infty} \int_1^2 \frac{\cos x}{x} dx \right) \\
&= \frac{1}{2} \left( -0 + \int_1^2\frac{\cos x}{x} dx \right)=\frac{1}{2}\int_1^2\frac{\cos x}{x} dx
\end{align}
$$となり, 示された.
(3)は最終的に示したい右辺の形が決まっているので, そこに向かうよう試行錯誤しながら積分区間の結合を行なってください. そのために, \(\displaystyle \int_t^2\frac{\cos{x}}{x}dx\)を足して, 引くという, 少し難しい式変形をしています.
なお, (1)は以下のように積分の絶対値を評価しても良いでしょう.
$$
\begin{align}
\left|\int_t^{2t}\frac{\sin{x}}{x^2}dx\right|&\leq \int_t^{2t}\left|\frac{\sin{x}}{x^2}\right|dx\\
&\leq \int_t^{2t}\frac{\left|\sin{x}\right|}{\left|x^2\right|}dx\\& \leq \int_t^{2t}\frac{1}{\left|x^2\right|}dx\\
&= \int_t^{2t}\frac{1}{x^2}dx=\frac{1}{2t}<\frac{1}{t}\,\to 0\,\,(t\to\infty)
\end{align}
$$
youtubeでも解説しています.
