今回はこちらの問題を解いていきます.
(1) 整数\(n\) に対して, \(n^2\)を\(8\)で割った余りは, \(0, 1, 4\)のいずれかであることを示せ.
(2) \(m\), \(n\)を\(0\)以上の整数とするとき, \(2^m=n^2+3\)をみたす\((m,n)\)の組をすべて求めよ.
(2025 九州大学理系[3])
整数問題を解く際に「余り」を考えることは常套手段です. 実際この問題は, 整数を\(8\)で割った余りに注目します. このような問題ではmodを使うと記述が楽なのですが, 高校で習うとは限らないということで、modを使わず愚直に計算を行うことにします.それでは問題を解いていきましょう.
(1) 整数\(n\)は\(8\)で割ったあまりに注目することで, 整数\(k\)を用いて以下の5パターンのいずれかの形で表せる.
$$
n=8k, n=8k\pm1, n=8k\pm2, n=8k\pm3, n=8k+4
$$
このパターンごとに, \(n^2\)を\(8\)で割ったあまりを計算する.
① \(n=8k\)と表せるとき(\(n\)を\(8\)で割った余りが\(0\)のとき)
\(n^2=64k^2=8\cdot 8k^2\)より, \(n^2\)を\(8\)で割った余りは\(0\)である.
② \(n=8k\pm 1\)と表せるとき(つまり, \(n\)を\(8\)で割った余りが\(1\)または\(7\)のとき)
\(n^2=(8k\pm 1 )^2=64k^2\pm 16k+1=8(8k^2\pm 2k)+1\)より, \(n^2\)を\(8\)で割った余りは\(1\)である.
③ \(n=8k\pm 2\)と表せるとき(つまり, \(n\)を\(8\)で割った余りが\(2\)または\(6\)のとき)
\(n^2=(8k\pm 2 )^2=64k^2\pm 32k+4=8(8k^2\pm 4k)+4\)より, \(n^2\)を\(8\)で割った余りは\(4\)である.
④ \(n=8k\pm 3\)と表せるとき(つまり, \(n\)を\(8\)で割った余りが\(3\)または\(5\)のとき)
\(n^2=(8k\pm 3 )^2=64k^2\pm 48k+9=8(8k^2\pm 6k+1)+1\)より, \(n^2\)を\(8\)で割った余りは\(1\)である.
⑤ \(n=8k+4\)と表せるとき(つまり, \(n\)を\(8\)で割った余りが\(4\)のとき)
\(n^2=(8k+ 4 )^2=64k^2+ 64k+16=8(8k^2+ 8k+2)\)より, \(n^2\)を\(8\)で割った余りは\(0\)である.
以上から, \(n^2\)を\(8\)で割った余りは, \(0, 1, 4\)のいずれかである.
(2) \(2^m=n^2+3\)の右辺\(n^2+3\)は、(1)より\(8\)で割った余りは, \(3(=0+3), 4(=1+3), 7(=4+3)\)のいずれかであり, これが\(8\)の倍数になることはない. 一方, 左辺の\(2^m\)は\(m\geq 3\)のとき\(8\)の倍数になるから, 等式を満たす\(0\)以上の整数の組\((m,n)\)が存在するとすれば, \(m\)は\(0, 1, 2\)のいずれかとなる.
① \(m=0\)のとき
左辺は\(1\)となり, 右辺\(n^2+3\)は\(3\)以上のため, これを満たす\(n\)は存在しない.
② \(m=1\)のとき
左辺は\(2\)となり, 右辺\(n^2+3\)は\(3\)以上のため, これを満たす\(n\)は存在しない.
③ \(m=2\)のとき
左辺は\(4\)であるから,
$$
4=n^2+3\iff n^2=1 \iff n=\pm 1
$$
となる. ここで\(n\)は\(0\)以上の整数だから, \(n=1\)のみが解となる. よって等式を満たす\(0\)以上の整数の組は\((m,n)=(2,1)\)であり, これが全てである.
youtubeでも解説しています.
