【信州大学入試】正四面体に外接する球の中心(2025)

2025年7月13日

今回はこちらの問題を解いていきます.

四面体$\mathrm{ABCD}$について, $\triangle{\mathrm{BCD}}$の重心を$\mathrm{G}$, 線分$\mathrm{AG}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{I}$とするとき, 以下の問いに答えよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{AI}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表せ.
(2) 四面体$\mathrm{ABCD}$が正四面体であれば, $\mathrm{AI}=\mathrm{BI}=\mathrm{CI}=\mathrm{DI}$となることを示せ.
(2025 信州大学文系[2])

こちらベクトルの基本的な問題です. 四面体$\mathrm{ABCD}$が正四面体のとき, $\mathrm{AI}=\mathrm{BI}=\mathrm{CI}=\mathrm{EI}$であることを示す問題ですが, この結果から$\mathrm{I}$が4点$\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$を通る球(つまり正四面体$\mathrm{ABCD}$の外接球)の中心になることがわかります.

それでは解いていきましょう.

(1) $\mathrm{G}$は$\triangle{\mathrm{BCD}} $の重心より,
$$
\overrightarrow{\mathrm{AG}}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)
$$
が成り立つ. また, $\mathrm{I}$は$\mathrm{AG}$を$3:1$に内分するので,
$$
\overrightarrow{\mathrm{AI}}=\frac{3}{4}\overrightarrow{\mathrm{AG}}=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)
$$
となる.

(2) 四面体$\mathrm{ABCD}$が正四面体であれば, $\triangle{\mathrm{ABC}}$, $\triangle{\mathrm{ACD}}$, $\triangle{\mathrm{ADB}}$はいずれも正三角形となり, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$のいずれの2つのなす角も${60}^\circ$である. また, これら3つのベクトルの長さも等しくなり, それを$a$とおくと,
$$
\begin{align}
\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}} = \left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|\cos{{60}^\circ}=\frac{a^2}{2}
\end{align}
$$
である.

よって,
$$
\begin{align}
\left|\overrightarrow{\mathrm{AI}} \right|^2&=\left|\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)\right|^2\\
&=\left(\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)\right)\cdot \left(\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)\right)\\
&=\frac{1}{16}\left(\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}} \right|^2+\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}} \right|^2+\left|\overrightarrow{\mathrm{AD}} \right|^2+2 \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}+2 \overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}+2 \overrightarrow{\mathrm{AD}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} \right)\\
&=\frac{1}{16}\left(a^2+a^2+a^2+2\cdot\frac{a^2}{2}+2\cdot\frac{a^2}{2}+2\cdot\frac{a^2}{2}\right)\\
&=\frac{3}{8}a^2
\end{align}
$$
となる. また,
$$
\begin{align}
\left|\overrightarrow{\mathrm{BI}} \right|^2&=\left|\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)-\overrightarrow{\mathrm{AB}} \right|^2\\
&=\left|\frac{1}{4}\left(-3\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)\right|^2\\
&=\left(\frac{1}{4}\left(-3\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)\right)\cdot \left(\frac{1}{4}\left(-3\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right)\right)\\
&=\frac{1}{16}\left(9\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}} \right|^2+\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}} \right|^2+\left|\overrightarrow{\mathrm{AD}} \right|^2-6 \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}+ 2\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}-6\overrightarrow{\mathrm{AD}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} \right)\\
&=\frac{1}{16}\left(9a^2+a^2+a^2-6\cdot\frac{a^2}{2}+2\cdot\frac{a^2}{2}-6\cdot\frac{a^2}{2}\right)\\
&=\frac{1}{16}\cdot 6a^2\\
&=\frac{3}{8}a^2
\end{align}
$$
この$\left|\overrightarrow{\mathrm{BI}}\right|^2$の計算と全く同様に, $\left|\overrightarrow{\mathrm{CI}}\right|^2$, $\left|\overrightarrow{\mathrm{DI}}\right|^2$も計算でき, その値はいずれも$\frac{3}{8}a^2$である.

よって,
$$
\left|\overrightarrow{\mathrm{AI}}\right|^2=\left|\overrightarrow{\mathrm{BI}}\right|^2=\left|\overrightarrow{\mathrm{CI}}\right|^2=\left|\overrightarrow{\mathrm{DI}}\right|^2=\frac{3}{8}a^2
$$
となり,
$$
\mathrm{AI}=\mathrm{BI}=\mathrm{CI}=\mathrm{DI}\left(=\frac{\sqrt{6}}{4}a\right)
$$
がわかる.