【東京大学入試】2箱に4色の玉が揃う確率を求める(2009)

(1) まず, 操作Aを5回行い, Lに4色すべての玉が入っている確率を求める. 5回の操作で5個の玉が出てくるので, どれか1色の玉は2回出てくることになる. 2個出てくる玉の色の選び方が\(4\)通り, その各々に対して玉の取り出す順番の並べ方が\(\displaystyle\frac{5!}{2!}\)通り, 指定された順番で指定された色の玉が出てくる確率が\(\displaystyle\left(\frac{1}{4}\right)^5\)なので, 求める確率は,$$
4\times\frac{5!}{2!}\times \left(\frac{1}{4}\right)^5 = \frac{15}{64}
$$となる.

操作Bを5回行ったときに, Rに4色すべての玉が入っている確率も同じく\(\displaystyle\frac{15}{64}\)であり, この2つは独立なので, \(P_1\)はこの2つの確率の積となり,$$
P_1= \frac{15}{64}\times \frac{15}{64}=\frac{225}{4096}
$$である.

(2) 操作CはLに出てきた玉の色が既に入っていたらその玉をRに入れるというだけであり, 操作Cを5回行ってLに4色すべての玉が入っている確率は, 操作Aを5回行ってLに4色すべての玉が入っている確率と同じである. よって(1)からその確率は, \(\displaystyle \frac{15}{64}\)である.

(3) 求める確率は10回スイッチを教して, 各色2個ずつ玉が出てくる確率と同じである. 10回スイッチを押す中で, 10回中8回は各色が2個ずつ出てくるので, 少なくとも1色は3回以上出てくるので、残りの2個の玉の色に関して場合分けを行う.

① 4色のうちどれか1色が4回出て, 残りの3色が2回ずつ出る場合
4回出てくる玉の選び方が\(4\)通り, その各々に対して玉の取り出す順番の並べ方が\(\displaystyle\frac{10!}{4!2!2!2!}\)通り, 指定された順番で指定された色の玉が出てくる確率が\(\displaystyle\left(\frac{1}{4}\right)^{10}\)なので, 求める確率は,$$
4\times \frac{10!}{4!2!2!2!}\times \left(\frac{1}{4}\right)^{10}
$$となる.

② 4色のうちどれか2色が3回ずつ出て, 残りの2色が2回ずつ出る場合
3回出てくる玉の選び方が\({}_4\mathrm{C}_2\)通り, その各々に対して玉の取り出す順番の並べ方が\(\displaystyle\frac{10!}{3!3!2!2!}\)通り, 指定された順番で指定された色の玉が出てくる確率が\(\displaystyle\left(\frac{1}{4}\right)^{10}\)なので, 求める確率は,$$
{}_4\mathrm{C}_2\times \frac{10!}{3!3!2!2!}\times \left(\frac{1}{4}\right)^{10}
$$となる.

①, ②は排反なので\(P_3\)はこの2つの確率の和となるから,$$
4\times \frac{10!}{4!2!2!2!}\times \left(\frac{1}{4}\right)^{10}+{}_4\mathrm{C}_2\times \frac{10!}{3!3!2!2!}\times \left(\frac{1}{4}\right)^{10} = \frac{10!}{2^{24}}
$$となるから,$$
\frac{P_3}{P_1}=\frac{10!}{2^{24}}\times \frac{2^{12}}{225}=\frac{63}{16}
$$となる.