今回はこちらの問題を解いていきます.
\(2\)次関数\(f(x)=x^2+ax+b\)に対して, $$
f(x+1)=c\int_0^1(3x^2+4xt)f^\prime(t)\,dt
$$が\(x\)についての恒等式となるような定数\(a\), \(b\), \(c\)の組をすべて求めよ.
(2010 東京大学 文系 [2])
それでは解いていきましょう.
\(f^\prime(x)=2x+a\)より, \(f(x+1)=c\int_0^1(3x^2+4xt)f^\prime(t)\,dt\)は,$$
\begin{align}
(x+1)^2+a(x+1)+b=c\int_0^1(3x^2+4xt)(2t+a)\,dt
\end{align}
$$となり, 左辺を展開, 右辺の積分を計算し, 整理すると,$$
\begin{align}
x^2+(a+2)x+a+b+c&=c\int_0^1(6x^2t+3ax^2+8xt^2+4axt)\,dt\\[1.5ex]
&=c\left[3x^2t^2+3ax^2t+\frac{8}{3}xt^3+2axt^2\right]_0^1\\[1.5ex]
&=c\left(3x^2+3ax^2+\frac{8}{3}x+2ax\right)\\[1.5ex]
&=3c(a+1)x^2+c\left(\frac{8}{3}+2a\right)x
\end{align}
$$となる. これが恒等式になる必要十分条件は, 両辺で\(x^2\), \(x\)の係数, および定数項が等しいことであるから, この条件は$$
\left\{
\begin{align}
&1=3c(a+1)\,\,\,・・・①\\[1.5ex]
&a+2=c\left(\frac{8}{3}+2a\right)\,\,\,・・・②\\[1.5ex]
&a+b+1=0\,\,\,・・・③\end{align}\right.
$$となる.
①, ②を整理すると,$$
\begin{align}
&3c+3ac=1\,\,\, \cdots ①^\prime\\[1.5ex]
&8c+6ac=3a+6\,\,\,\ \cdots ②^\prime
\end{align}
$$となり, \(ac\)を消去するために, \(2\times ①^\prime – \times ②^\prime\)を計算して,$$
\begin{align}
-2c=-3a-4\\[1.5ex]
\end{align}
$$となり, これから,$$
c=\frac{3a}{2}+2
$$となる. これを①に代入して,$$
\begin{align}
&1=3\left(\frac{3a}{2}+2\right)(a+1)\\[1.5ex]
\iff &2=3(3a+4)(a+1)\\[1.5ex]
\iff &9a^2+21a+10=0\\[1.5ex]
\iff &(3a+2)(3a+5)=0\\[1.5ex]
\iff &a=-\frac{2}{3},\,\,-\frac{5}{3}
\end{align}
$$となる. これから, \(\displaystyle a=-\frac{2}{3}\)のとき, ③から\(\displaystyle b=-\frac{1}{3}\), \(\displaystyle c=\frac{3a}{2}+2\)から, \(c=1\)となる. また, \(\displaystyle a=-\frac{5}{3}\)のとき, ③から\(\displaystyle b=\frac{2}{3}\), \(\displaystyle c=\frac{3a}{2}+2\)から, \(\displaystyle c=-\frac{1}{2}\)となる.
よって, 求める\(a\), \(b\), \(c\)の組は,$$
(a,b,c)=\left(-\frac{2}{3},-\frac{1}{3},1\right), \left(-\frac{5}{3},\frac{2}{3},-\frac{1}{2}\right)
$$となる.
youtubeでも解説しています.
