高校数学問題を解きまくる– category –

今回はこちらの問題を解いていきます. \(\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=4\), \(\mathrm{AB}=2\)である三角形\(\triangle{\mathrm{OAB}}\)がある. \(\angle{\mathrm{OAB}}\)の2等分線と線分\(\mathrm{OB}\)の交点を\(C\)とする. また\(\mathrm{O}\)から直線\(\ma...

今回はこちらの問題を解いていきます. 次の2つの放物線$$C_1:y=2x^2,\,\,\, C_2:y=2x^2-8x+16$$の両方に接する直線\(l\)を求めよ. またその直線\(l\)と\(C_1\), \(C_2\)で囲まれた領域の面積を求めよ. こちら2次関数, 接線, 積分のとても基本的な問題です....

今回はこちらの問題を解いていきます. 問1. 複素数\(z\)が\(|z|=2\)を満たす複素数全体を動くとき, \(\left|z-\frac{i}{z}\right|\)の最大値と最小値を求めよ.問2. 以下の定積分の値を求めよ.(1) \(\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}}\frac{x\sqrt{x^2+1}+2x...

今回はこちらの問題を解いていきます. 四面体\(\mathrm{ABCD}\)について, \(\triangle{\mathrm{BCD}}\)の重心を\(\mathrm{G}\), 線分\(\mathrm{AG}\)を\(3:1\)に内分する点を\(\mathrm{I}\)とするとき, 以下の問いに答えよ.(1) \(\overrightarrow{\mathrm{...

今回はこちらの問題を解いていきます. \(t>0\)のとき, 以下を示せ.(1)\(\displaystyle -\frac{1}{t}<\int_t^{2t}\frac{\sin{x}}{x^2}dx<\frac{1}{t}\)(2) \(\displaystyle \lim_{t\rightarrow \infty}\int_t^{2t}\frac{\cos{x}}{x}dx=0\)(3) \(\d...

今回はこちらの問題を解いていきます. 点Oを中心とする半径\(1\)の円周上に, 以下の3条件を満たすように4点A, B, C, Dをとる.・点A, B, C, Dは円周上で反時計回りにこの順で並ぶ・線分\(AD\)は円の直径・\(AC=CD\)・\(AB=BC\)また, 線分\(AC\)と線分\(BD\)...

今回はこちらの問題を解いていきます. 大中小の3個のサイコロを投げて, 大のサイコロの目を\(a\), 中のサイコロの目を\(b\), 小のサイコロの目を\(c\)とする. 3次方程式$$(x^2-ax+b)(x-c)=0$$について, 以下の問いに答えよ. (1) 3次方程式の実数解の個数が...

今回はこちらの問題を解いていきます. 自然数\(n\)に対し, \(n\)の正の約数の個数を\(d(n)\)とし, $$f(n)=\frac{d(n)}{\sqrt{n}}$$とおく. 以下の問いに答えよ.(1) \(f(2025)\)の値を求めよ.(2) 素数\(p\)と正の整数\(k\)の組で\(f(p^k)\leq f(p^{k+1})\)...

今回はこちらの問題を解いていきます. (1) 整数\(n\) に対して, \(n^2\)を\(8\)で割った余りは, \(0, 1, 4\)のいずれかであることを示せ.(2) \(m\), \(n\)を\(0\)以上の整数とするとき, \(2^m=n^2+3\)をみたす\((m,n)\)の組をすべて求めよ. 整数問題を解く...

今回はこちらの問題を解いていきます. 数Ⅲの範囲になるので, 文系数学の範囲外の問題になります. (1) 関数\(y=\tan{x}\)に対して, \(\frac{dy}{dx}\)を\(y\)の整式で表せ.(2) 以下の定積分を求めよ.$$\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{\tan^4{x}-\tan^2{x}-2}{...