今回はこちらの問題を解きたいと思います.
\(p\), \(q\)を素数とするとき, \(p^q+q^p\)の形で表せる素数を全て求めよ. (2016 京都大学)
これは2016年の京都大学の入試問題で出題された有名問題です.
素数は未だに謎が多く, 多くの数学者がその謎の解明のために研究をしています. ある形をした素数が無限にあるかどうかもほとんど知られていません. 例えば\(2^n+1\) , \(2^n-1\), \(n^2+1\)のように割と簡単な形をした素数ですら無限にあるかどうかがわかっていないのです. 少し考えればわかりますが, \(n^2-1\)の形をした素数は\(3\)だけであることは知られています.
このように謎多き素数ですから, 今回の問題の形をした素数が無限にあることが証明されているとは到底思えません. よって今回のような, 特定の形をした素数を列挙する問題は, 有限個しか存在しないことを示すこと, が常套手段となっています.
では解答に参りましょう.
\(p\), \(q\)が共に奇数の素数のとき, \(p^q+q^p\)は\(2\)より大きい偶数となるので, \(p\), \(q\)のいずれか一方は偶数の素数, つまり\(2\)である必要がある. ここでは, \(q=2\)としても一般性を失わない.
\(q=2\)のとき, \(p^2+2^p\)が素数となる素数\(p\)について考える.
\(p=2\)とすると, \(p^2+2^p=2^2+2^2=8\)となり, これは素数ではない.
\(p=3\)とすると, \(p^2+2^p=3^2+2^3=17\)となり, これは素数である.
次に, \(p\)を\(3\)より大きい素数とし, \(p^2+2^p\)が\(3\)の倍数であることを証明する. \(3\)の倍数であることを示したいので, \(p^2\), \(2^p\)をそれぞれ\(\mbox{mod} 3\)で考える.
① \(p^2\)に関して
\(p\)は\(3\)の倍数でないから, 自然数\(n\)を用いて,
$$p=3n\pm 1$$
の形で表すことができる.このとき,
$$p^2=(3n\pm 1)^2=9n^2\pm 6n+1\equiv 1 \pmod 3$$
となる.
②\(2^p\)に関して
\(p\)は3より大きい素数より, 奇数であり, \(2\)以上の自然数\(m\)を用いて\(p=2m+1\)と表せる. このとき,
$$2^p=2^{2m+1}=2^{2m}\times 2=4^m\times 2 \equiv 1^m\times 2=2 \pmod 3$$
となる.
①, ②より$$p^2+2^p\equiv 1+2=3\equiv 0 \pmod 3$$となり, \(p^2+2^p\)は\(3\)の倍数であることがわかる. ここで, \(p\)は\(3\)より大きい素数なので, \(p^2+2^p\)も\(3\)より大きいことがわかり, \(p^2+2^p\)が素数となることはない.
以上より, 素数\(p, q\)を用いて\(p^q+q^p\)の形で表せる素数は,
$$(p,q)=(2,3), (3,2)$$
のときのみであり, その素数は\(17\)であることがわかる.
京都大学の問題ですが, 意外と簡単でしたね. 上は解答なので途中の考察は省いていますが, \(p^2+2^p\)の形をした素数を探す際に, 実際に\(p\)に具体的な数を入れて傾向を掴むことが大事です. 実際, \(p=5\)のとき, \(p^2+2^p=5^2+2^5=57\)となり, これは\(3\)より大きい\(3\)の倍数となり素数ではありません. また, \(p=7\)のとき, \(p^2+2^p=7^2+2^7=177=3\times 59\)となりこちらも\(3\)の倍数です. この辺りまで計算して, 「あぁ\(p\)が3より大きい素数のとき, \(p^2+2^p\)は\(3\)の倍数になりそうだな」と気づくことが大事です.
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