【東京大学入試】定積分の条件から最大値を求める問題(2008)

\(\displaystyle \int_{-1}^1f(x)\,dx=1\)より,
$$
\begin{align}
\int_{-1}^1f(x)\,dx&=\int_{-1}^1\left\{x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\right\}\,dx\\[1.5ex]
&=\left[\frac{x^3}{3}-(\alpha+\beta)\frac{x^2}{2}+\alpha\beta x\right]_{-1}^1\\[1.5ex]
&=\frac{2}{3}+2\alpha\beta=1
\end{align}
$$となり, \(\displaystyle \alpha\beta=\frac{1}{6}\)がわかる.

(補足) 偶関数\(f(x)\)に対して,$$
\int_{-a}^af(x)\,dx=2\int_0^af(x)\,dx
$$が, 奇関数\(g(x)\)に対して, $$
\int_{-a}^ag(x)\,dx=0
$$となることに注意して,$$
\int_{-1}^1\left\{x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\right\}\,dx=2\int_0^1(x^2-\alpha\beta)\,dx
$$として計算しても良いです.

ここで, \(\alpha=0\)とすると, \(\alpha\beta=0\)となってしまうため, \(\alpha > 0\)がわかる. これから, \(\displaystyle \beta=\frac{1}{6\alpha}\)である.

\(\alpha\leq \beta\)より, \(\displaystyle \alpha\leq \frac{1}{6\alpha}\)であり, \(\alpha>0\)に注意して, \( \displaystyle \alpha^2\leq\frac{1}{6}\)となる. よって\(\alpha\)のとりうる値の範囲は\( \displaystyle 0<\alpha\leq\frac{1}{\sqrt{6}}\)である.

\(S\)を計算すると,$$
\begin{align}
S&=\int_0^\alpha f(x)\,dx\\[1.5ex]
&=\int_0^\alpha \left\{ x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta \right\}\,dx\\[1.5ex]
&=\left[\frac{x^3}{3}-(\alpha+\beta)\frac{x^2}{2}+\alpha\beta x\right]_0^\alpha\\[1.5ex]
&=\frac{\alpha^3}{3}-(\alpha+\beta)\frac{\alpha^2}{2}+\alpha^2\beta\\[1.5ex]
&=-\frac{\alpha^3}{6}+\frac{\alpha^2\beta}{2}
\end{align}
$$であり, \(\displaystyle \beta=\frac{1}{6\alpha}\)より,$$
S=-\frac{\alpha^3}{6}+\frac{\alpha}{12}
$$として, \(S\)を\(\alpha\)の式で表すことができる.

(補足) 数Ⅱまでの範囲では習いませんが, 以下のように部分積分を使っても良いです.$$
\begin{align}
S&=\int_0^\alpha(x-\alpha)(x-\beta)\,dx\\[1.5ex]
&=\left[\frac{1}{2}(x-\alpha)^2(x-\beta)\right]_0^\alpha-\frac{1}{2}\int_0^\alpha (x-\alpha)^2\,dx\\[1.5ex]
&=\frac{\alpha^2\beta}{2}-\frac{1}{6}\left[(x-\alpha)^3\right]_0^\alpha\\[1.5ex]
&=\frac{\alpha^2\beta}{2}-\frac{\alpha^3}{6}
\end{align}
$$

\(S(\alpha)=-\frac{\alpha^3}{6}+\frac{\alpha}{12}\)として, \(S\)を\(\alpha\)の関数とみなし, \(S(\alpha)\)を\(\alpha\)で微分すると,$$
\begin{align}
S^\prime(\alpha)&=-\frac{\alpha^2}{2}+\frac{1}{12}\\[1.5ex]
&=-\frac{1}{2}\left(\alpha^2-\frac{1}{6}\right)
\end{align}
$$となり, \(S^\prime(\alpha)=0\)とすると, \(\displaystyle \alpha=\pm\frac{1}{\sqrt{6}}\)である.

\( \displaystyle 0<\alpha\leq\frac{1}{\sqrt{6}}\)の範囲で, \(S(\alpha)\)の増減表は,$$
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\alpha & 0 & \cdots & \frac{1}{\sqrt{6}} \\[1.5ex]
\hline
S^\prime(\alpha) & \cancel{\phantom{\Large 0}} & + & 0 \\[1.5ex]
\hline
S(\alpha) & \cancel{\phantom{\Large 0}} & \nearrow & \\[1.5ex]
\hline
\end{array}$$となり, \(S(\alpha)\)は\(\displaystyle \alpha=\frac{1}{\sqrt{6}}\)のとき, 最大値$$
\begin{align}
S\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)&=-\frac{1}{6^2\sqrt{6}}+\frac{1}{12\sqrt{6}}\\[1.5ex]
&=-\frac{\sqrt{6}}{6^3}+\frac{\sqrt{6}}{12\cdot 6}\\[1.5ex]
&=\frac{\sqrt{6}}{6^3}(-1+3)\\[1.5ex]
&=\frac{\sqrt{6}}{108}
\end{align}
$$をとることがわかる.