【一橋大学入試】最大角120°の三角形で余弦の値を求める(2014)

\(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}=3\)より,$$
\begin{align}
|\overrightarrow{\mathrm{OB}}||\overrightarrow{\mathrm{OC}}|\cos{\angle{\mathrm{BOC}}}&=3\\[1.5ex]
3\cdot 2\cdot \cos{\angle{\mathrm{BOC}}}&=3\\[1.5ex]
\cos{\angle{\mathrm{BOC}}}&=\frac{1}{2}
\end{align}
$$となり, \(\angle{\mathrm{BOC}}=60^\circ\)がわかる. これから, \(xy\)平面上で\(\mathrm{B}(3,0)\), \(\mathrm{C}(1,\sqrt{3})\)としても一般性を失わない.

\(\mathrm{A}\)は原点を中心とする半径\(4\)の円周上にあり, \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\)が\(x\)軸の正の方向となす角の大きさを\(\theta\)とすると, \(\mathrm{A}(4\cos{\theta}, 4\sin{\theta})\)と表せる. これから, $$
\begin{align}
\overrightarrow{\mathrm{BA}}&=(4\cos{\theta}-3,4\sin{\theta})\\[1.5ex]
\overrightarrow{\mathrm{BC}}&=(-2, \sqrt{3})
\end{align}
$$となり, \(\triangle{\mathrm{ABC}}\)の面積\(S\)は,$$
\begin{align}
S&=\frac{1}{2}\left|(4\cos{\theta}-3)\cdot \sqrt{3}-4\sin{\theta}\cdot(-2)\right|\\[1.5ex]
&=2\left|\sqrt{3}\cos{\theta}+2\sin{\theta}-\frac{3\sqrt{3}}{4}\right|
\end{align}
$$と表せる.

ここで, \(\sqrt{3}\cos{\theta}+2\sin{\theta}\)は三角関数の合成から,$$
\begin{align}
\sqrt{3}\cos{\theta}+2\sin{\theta}&=\sqrt{7}\left(\sin{\theta}\cdot\frac{2}{\sqrt{7}}+\cos{\theta}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\right)\\[1.5ex]
&=\sqrt{7}\sin{(\theta+\alpha)}
\end{align}
$$と表せる. ここで\(\alpha\)は, \(\displaystyle \cos{\alpha}=\frac{2}{\sqrt{7}}\), \(\displaystyle \sin{\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\)を満たす実数である.

よって\(S\)は,$$
S=2\left|\sqrt{7}\sin{(\theta+\alpha)}-\frac{3\sqrt{3}}{4}\right|
$$となり, これが最大となるのは, \(\sqrt{7}\sin{(\theta+\alpha)}\)が\(-\sqrt{7}\)となるときで, その最大値は, \(\displaystyle \frac{4\sqrt{7}+3\sqrt{3}}{2}\)となる.