今回はこちらの問題を解いていきます.
\(k\)を正の実数とし, \(2\)次方程式\(8x^2-12kx+3k^2+8=0\)は\(\sin{\theta}+2\cos{\theta}\), \(2\sin{\theta}+\cos{\theta}\)を解に持つとする. ただし, \(\displaystyle 0\leq\theta\leq\frac{\pi}{4}\)とする. このとき, 以下の問いに答えよ.
(1) \(\sin{\theta}+\cos{\theta}\), \(\sin{\theta}\cos{\theta}\)をそれぞれ\(k\)を用いて表せ.
(2) \(k\)の値を求めよ.
(3) \(\sin{\theta}\), \(\cos{\theta}\)の値を求めよ.
(2017 東京都立大学 [1])
それでは解いていきましょう.
(1) \(8x^2-12kx+3k^2+8=0\)の\(2\)解が\(\sin{\theta}+2\cos{\theta}\), \(2\sin{\theta}+\cos{\theta}\)であるから, 解と係数の関係より,$$
\begin{align}
(\sin{\theta}+2\cos{\theta})+(2\sin{\theta}+\cos{\theta})&=-\frac{-12k}{8}\\[1.5ex]
(\sin{\theta}+2\cos{\theta})(2\sin{\theta}+\cos{\theta})&=\frac{3k^2+8}{8}\\[1.5ex]
\end{align}
$$となる. それぞれ整理すると,$$
\begin{align}
&(\sin{\theta}+2\cos{\theta})+(2\sin{\theta}+\cos{\theta})=-\frac{-12k}{8}\\[1.5ex]
\iff & 3\sin{\theta}+3\cos{\theta}=\frac{3k}{2}\\[1.5ex]
\iff & \sin{\theta}+\cos{\theta}=\frac{k}{2}
\end{align}
$$
$$\begin{align}
&(\sin{\theta}+2\cos{\theta})(2\sin{\theta}+\cos{\theta})=\frac{3k^2+8}{8}\\[1.5ex]
\iff & 2\sin^2{\theta}+5\sin{\theta}\cos{\theta}+2\cos^2{\theta}=\frac{3k^2+8}{8}\\[1.5ex]
\iff & 2+5\sin{\theta}\cos{\theta}=\frac{3k^2+8}{8}\\[1.5ex]
\iff & 5\sin{\theta}\cos{\theta}=\frac{3k^2-8}{8}\\[1.5ex]
\iff & \sin{\theta}\cos{\theta}=\frac{3k^2-8}{40}
\end{align}
$$となるから, \(\displaystyle\sin{\theta}+\cos{\theta}=\frac{k}{2}\), \(\displaystyle \sin{\theta}\cos{\theta}=\frac{3k^2-8}{40}\)である.
(2) \(\displaystyle\sin{\theta}+\cos{\theta}=\frac{k}{2}\)の両辺を\(2\)乗すると,$$
\sin^2{\theta}+2\sin{\theta}\cos{\theta}+\cos^2{\theta}=\frac{k^2}{4}
$$となり, \(\displaystyle \sin{\theta}\cos{\theta}=\frac{3k^2-8}{40}\)より,$$
\begin{align}
& \sin^2{\theta}+2\sin{\theta}\cos{\theta}+\cos^2{\theta}=\frac{k^2}{4}\\[1.5ex]
\iff & 1+\frac{3k^2-8}{20}=\frac{k^2}{4}\\[1.5ex]
\iff & \left(\frac{3}{20}-\frac{1}{4}\right)k^2=-1+\frac{2}{5}\\[1.5ex]
\iff & -\frac{k^2}{10}=-\frac{3}{5}\\[1.5ex]
\iff & k^2=6
\end{align}
$$となり, \(k>0\)より, \(k=\sqrt{6}\)である.
(3) (1), (2)より,$$
\begin{align}
\sin{\theta}+\cos{\theta}&=\frac{\sqrt{6}}{2}\\[1.5ex]
\sin{\theta}\cos{\theta}&=\frac{18-8}{40}=\frac{1}{4}
\end{align}
$$であるから, 解と係数の関係より\(\sin{\theta}\), \(\cos{\theta}\)を\(2\)解とする\(x\)の\(2\)次方程式は,$$
x^2-\frac{\sqrt{6}}{2}x+\frac{1}{4}
$$である. これを解の公式で解くと,$$
x=\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2-1}}{2}=\frac{\sqrt{6}\pm\sqrt{2}}{4}
$$となる. ここで, \(\displaystyle 0\leq\theta\leq\frac{\pi}{4}\)より, この範囲では, \(\sin{\theta}\leq\cos{
\theta}\)であるから, \(\sin{\theta}\)は\(2\)解のうち小さい方, \(\cos{\theta}\)は\(2\)解のうち大きい方, となるから,$$
\begin{align}
\sin{\theta}&=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\\[1.5ex]
\cos{\theta}&=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
\end{align}
$$となる.
youtubeでも解説しています.
