【東京工業大学入試】解が1の冪乗根となる整数係数2次方程式(2024)

2025年9月4日

今回はこちらの問題を解いていきます.

整数の組$(a,b)$に対して$2$次式$f(x)=x^2+ax+b$を考える. 方程式$f(x)=0$の複素数の範囲のすべての解$\alpha$に対して, $\alpha^n=1$となる正の整数$n$が存在するような組$(a,b)$をすべて求めよ.
(2024 東京工業大学 [5])

それでは解いていきましょう.

また, $f(x)=0$は$2$次方程式であるから重複度を込めて解は$2$つあり, 係数が実数であることから$f(x)=0$が虚数解$\alpha$をもつとき, その共役$\overline{\alpha}(\neq \alpha)$が他方の解となる. これから, $f(x)=0$は「重複度を込めて$2$つの実数解をもつ」, 「$2$つの虚数解をもつ」のいずれか一方が成り立つ.

① $f(x)=0$が重複度を込めて$2$つの実数解をもつとき
$f(x)=0$の解の絶対値は$1$であるから, 実数解は$-1$, $1$に限られる. これから, $f(x)$として,$$
\begin{align}
f(x)&=(x+1)^2=x^2+2x+1\\[1.5ex]
f(x)&=(x+1)(x-1)=x^2-1\\[1.5ex]
f(x)&=(x-1)^2=x^2-2x+1
\end{align}
$$の3通りが考えられ, 対応する$(a,b)$の組は,$$
(a,b)=(2,1), (0,-1), (-2,1)
$$となる.

② $f(x)=0$が$2$つの虚数解をもつとき
$f(x)=0$の解の$1$つを$\alpha$とし, 実数$p$, $q$を用いて, $\alpha=p+qi$で表す. 先の注意から, $\overline{\alpha}=p-qi$も解であるから, 解と係数の関係から,$$
\begin{align}
\alpha+\overline{\alpha}&=-a\\[1.5ex]
\alpha\overline{\alpha}&=b
\end{align}
$$である. $\alpha+\overline{\alpha}=2p$, $\alpha\overline{\alpha}=|\alpha|^2=1$であることに注意して,$$
\begin{align}
a&=-2p\\[1.5ex]
b&=1
\end{align}
$$がわかる.

ここで, $\alpha$は複素平面上で$0$を中心とする半径$1$の円周上にあり, $\alpha\neq \pm 1$であるから, $-1<p<1$である. この不等式の辺々を$-2$倍して, $-2p=a$より, $-2<a<2$であることがわかる. $a$は整数であることから, $a$は$-1$, $0$, $1$のいずれである必要がある.

②-1) $a=-1$のとき
$f(x)=x^2-x+1$となり, $f(x)=0$の解は,$$
x=\frac{1\pm\sqrt{1-4}}{2}=\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i
$$であり, $$
\begin{align}
\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)^6&=\left(\cos{\frac{\pi}{3}}+i\sin{\frac{\pi}{3}}\right)^6\\[1.5ex]
&=\cos{2\pi}+i\sin{2\pi}=1\\[1.5ex]
\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)^6&=\left(\cos{\left(-\frac{\pi}{3}\right)}+i\sin{\left(-\frac{\pi}{3}\right)}\right)^6\\[1.5ex]
&=\cos{(-2\pi)}+i\sin{(-2\pi)}=1
\end{align}
$$となるので, $(a,b)=(-1,1)$は条件を満たす.

②-2) $a=0$のとき
$f(x)=x^2+1$となり, $f(x)=0$の解は,$$
x=\pm i
$$であり, $$
\begin{align}
i^4=1\\[1.5ex]
(-i)^4=1
\end{align}
$$となるので, $(a,b)=(0,1)$は条件を満たす.

②-3) $a=1$のとき
$f(x)=x^2+x+1$となり, $f(x)=0$の解は,$$
x=\frac{-1\pm\sqrt{1-4}}{2}=-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i
$$であり, $$
\begin{align}
\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)^3&=\left(\cos{\frac{2\pi}{3}}+i\sin{\frac{2\pi}{3}}\right)^3\\[1.5ex]
&=\cos{2\pi}+i\sin{2\pi}=1\\[1.5ex]
\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)^3&=\left(\cos{\left(-\frac{2\pi}{3}\right)}+i\sin{\left(-\frac{2\pi}{3}\right)}\right)^3\\[1.5ex]
&=\cos{(-2\pi)}+i\sin{(-2\pi)}=1
\end{align}
$$となるので, $(a,b)=(1,1)$は条件を満たす.

①, ②より, 条件を満たす$(a,b)$は$$
(a,b)=(2,1), (0,-1), (-2,1), (-1,1), (0,1), (1,1)
$$の$6$通りである.