【九州大学入試】三角関数の積と倍角公式の活用(2008)

(1) \(a_1=(\cos{2})(\cos{1})\)の両辺に\(\sin{1}\)をかけると,$$
a_1\sin{1}=(\cos{2})(\cos{1})(\sin{1})
$$となるが, \(sin\)の倍角の公式, \(\sin{2\theta}=2\sin{\theta}\cos{\theta}\)から, \( \displaystyle \sin{\theta}\cos{\theta}=\frac{1}{2}\sin{2\theta}\)であることに注意して,$$
\begin{align}
a_1\sin{1}&=(\cos{2})(\cos{1})(\sin{1})\\[1.5ex]
&=\frac{1}{2}(\cos{2})(\sin{2})\\[1.5ex]
&=\frac{1}{4}\sin{4}
\end{align}
$$となる. ここで, \(0<1<\pi\)であるから, \(\sin{1}\neq 0\)であることに注意して, 両辺を\(\sin{1}\)で割ると,$$
a_1=\frac{\sin{4}}{4\sin{1}}
$$となって示された.

(2) 自然数\(n\)に関する帰納法によって示す.
① \(n=1\)のとき
$$
\begin{align}
(左辺)&=a_1\\[1.5ex]
(右辺)&=\frac{\sin{2^{1+1}}}{2^{1+1}\sin{1}}=\frac{\sin{4}}{4\sin{1}}
\end{align}
$$となり, (1)よりこの右辺は\(a_1\)と等しい. よって, \(n=1\)のときに等式が成り立つことが示された.

② \(n=k\)のとき成り立つと仮定して, \(n=k+1\)のとき成り立つことを示す.
\(n=k\)のとき成り立つと仮定しているので,$$
a_k=\frac{\sin{2^{k+1}}}{2^{k+1}\sin{1}}
$$である. このとき, $$
\begin{align}
a_{k+1}&=(\cos{2^{k+1}})(\cos{2^k})\cdots(\cos{2})(\cos{1})\\[1.5ex]
&=(\cos{2^{k+1}})a_k\\[1.5ex]
&=\cos{2^{k+1}}\times \frac{\sin{2^{k+1}}}{2^{k+1}\sin{1}}\\[1.5ex]
&=\frac{\cos{2^{k+1}}\sin{2^{k+1}}}{2^{k+1}\sin{1}}
\end{align}
$$となる. ここで, \(\sin\)の倍角の公式から,$$
\cos{2^{k+1}}\sin{2^{k+1}}=\frac{1}{2}\sin{2\times 2^{k+1}}=\frac{1}{2}\sin{2^{k+2}}
$$であるから, $$
a_{k+1}=\frac{1}{2}\sin{2^{k+2}}\times\frac{1}{2^{k+1}\sin{1}}=\frac{\sin{2^{k+2}}}{2^{k+2}\sin{1}}
$$となり, \(n=k+1\)のときも成り立つことがわかる.

①, ② から数学的帰納法により, すべての自然数\(n\)に対して, $$
a_n=\frac{\sin{2^{n+1}}}{2^{n+1}\sin{1}}
$$が成り立つことが示された.

(3) \(\displaystyle 0<\frac{\pi}{4}<1<\frac{\pi}{2}\)であり, \(\sin{x}\)は\(\displaystyle 0\leq x\leq \frac{\pi}{2}\)で単調増加なので, $$
\frac{1}{\sqrt{2}}=\sin{\frac{\pi}{4}}<\sin{1}
$$がわかる. 両辺に\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sin{1}}>0\)をかけると,$$
\frac{1}{\sin{1}}<\sqrt{2}
$$となる.

また, $$
\sin{2^{n+1}}\leq 1
$$であり, この両辺を\(\sin{1}>0\)で割ると, $$
\frac{\sin{2^{n+1}}}{\sin{1}}\leq\frac{1}{\sin{1}}
$$であり, \(\displaystyle \frac{1}{\sin{1}}<\sqrt{2}\)だったので, $$
\frac{\sin{2^{n+1}}}{\sin{1}}\leq\frac{1}{\sin{1}}<\sqrt{2}
$$となる. さらにこの両辺を, \(2^{n+1}>0\)で割ると,$$
\frac{\sin{2^{n+1}}}{2^{n+1}\sin{1}}<\frac{\sqrt{2}}{2^{n+1}}
$$となる. (2)からこの左辺は, \(a_n\)なので,$$
a_n<\frac{\sqrt{2}}{2^{n+1}}
$$が示された.