今回はこちらの問題を解いていきます.
\(\triangle{\mathrm{ABC}}\)において, \(\angle{\mathrm{ACB}}=3\angle{\mathrm{ABC}}\)であるとき, \(\mathrm{AB}<3\mathrm{CA}\)を示せ.
(2020 大阪大学 文系 [3])
それでは解いていきましょう.
\(\angle{\mathrm{ABC}}=\theta\)とおくと, \(\angle{\mathrm{ACB}}=3\theta\)であり, 正弦定理から,$$
\frac{\mathrm{CA}}{\sin{\theta}}=\frac{\mathrm{AB}}{\sin{3\theta}}
$$であり,$$
\mathrm{AB}=\frac{\sin{3\theta}}{\sin{\theta}}\mathrm{CA}
$$である. ここで,$$
\begin{align}
\sin{3\theta}&=\sin{(2\theta+\theta)}\\[1.5ex]
&=sin{2\theta}\cos{\theta}+\cos{2\theta}\sin{\theta}\\[1.5ex]
&=2\sin{\theta}\cos^2{\theta}+(1-2\sin^2{\theta})\sin{\theta}\\[1.5ex]
&=2\sin{\theta}(1-\sin^2{\theta})+(1-2\sin^2{\theta})\sin{\theta}\\[1.5ex]
&=3\sin{\theta}-4\sin^3{\theta}
\end{align}
$$となるから, \(4\sin^2{\theta}>0\)に注意して,$$
\begin{align}
\mathrm{AB}&=\frac{\sin{3\theta}}{\sin{\theta}}\mathrm{CA}\\[1.5ex]
&=(3-4\sin^2{\theta})\mathrm{CA}<3\mathrm{CA}
\end{align}
$$となり, \(\mathrm{AB}<3\mathrm{CA}\)が示された.
youtubeでも解説しています.
