【京都大学入試】三角方程式の解の個数を求める(2008)

2025年8月24日

今回はこちらの問題を解いていきます.

$0\leq x < 2\pi$のとき, 方程式$$
2\sqrt{2}(\sin^3{x}+\cos^3{x})+3\sin{x}\cos{x}=0
$$を満たす$x$の個数を求めよ.
(2008 京都大学文系 [4])

それでは解いていきましょう.

$t=\sin{x}+\cos{x}$とおくと,$$
\begin{align}
&t^2=(\sin{x}+\cos{x})^2=\sin^2{x}+2\sin{x}\cos{x}+\cos^2{x}\\[1.5ex]
\iff & \sin{x}\cos{x}=\frac{t^2-1}{2}
\end{align}
$$となる. また, $$
\begin{align}
&t^3=(\sin{x}+\cos{x})^3=\sin^3{x}+3\sin^2{x}\cos{x}+3\sin{x}\cos^2{x}+\cos^3{x}\\[1.5ex]
&t^3=\sin^3{x}+3\sin{x}\cos{x}(\sin{x}+\cos{x})+\cos^3{x}\\[1.5ex]
t&^3=\sin^3{x}+\cos^3{x}+3\cdot\frac{t^2-1}{2}\cdot t\\[1.5ex]
\iff & \sin^3{x}+\cos^3{x}=-\frac{t^3}{2}+\frac{3t}{2}
\end{align}
$$となるから, これを与えられた$x$の方程式に代入して,$$
\begin{align}
&2\sqrt{2}\left(-\frac{t^3}{2}+\frac{3t}{2}\right)+3\cdot\frac{t^2-1}{2}=0\\[1.5ex]
\iff & 2\sqrt{2}t^3-3t^2-6\sqrt{2}t+3=0
\end{align}
$$となり, 与えられた方程式を, $t$の$3$次方程式で表せる.

$t$が取り得る値の範囲を求めると, $$
t=\sin{x}+\cos{x}=\sqrt{2}\sin{\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}
$$と表すことができ, $\displaystyle \frac{\pi}{4}\leq x+\frac{\pi}{4}<\frac{9\pi}{4}$より,$$
-\sqrt{2}\leq t \leq \sqrt{2}
$$とわかる.

$f(t)$を$t$の$3$次方程式の左辺, $$
f(t)=2\sqrt{2}t^3-3t^2-6\sqrt{2}t+3
$$で定義する. $f(t)$を微分すると,$$
\begin{align}
f^\prime(t)&=6\sqrt{2}t^2-6t-6\sqrt{2}\\[1.5ex]
&=6(\sqrt{2}t^2-t-\sqrt{2})\\[1.5ex]
&=6(\sqrt{2}t+1)(t-\sqrt{2})
\end{align}
$$となり, $f^\prime(t)=0$とすると, $\displaystyle t=-\frac{1}{\sqrt{2}}$, または, $t=\sqrt{2}$である.

これから, $t$の取り得る値の範囲$-\sqrt{2}\leq t\leq \sqrt{2}$で, $f(t)$の増減表を書くと,$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
t & -\sqrt{2} & \cdots & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \cdots & \sqrt{2} \\[1.5ex]
\hline
f'(t) & & + & 0 & – & 0 \\[1.5ex]
\hline
f(t) & 1 & \nearrow & \frac{13}{2} &\searrow& -7\\[1.5ex]
\hline
\end{array}$$
となり, 以下のグラフから$t$の$3$次方程式は, $-\sqrt{2}\leq t\leq \sqrt{2}$の範囲で, ただ1つの実数解$\alpha$をもつことがわかり, $\alpha$は$0<\alpha<\sqrt{2}$を満たすこともわかる.