【東北大学入試】指数と多項式の大小比較と整数の関係式(2020)

(1) \(f(n)=3^n-(2^n+n^2+8)\)とおき, \(n\geq 3\)のとき\(f(n)>0\)であることを, 数学的帰納法により証明する.
① \(n=3\)のとき$$
f(3)=3^3-(2^3+3^2+8)=2>0
$$となって, \(n=3\)のとき\(f(n)>0\)が成り立つ.

② \(n=k\)のとき成り立つと仮定し, \(n=k+1\)のときも成り立つことを示す
仮定から, \(f(k)=3^k-(2^k+k^2+8)>0\)より, \(3^k>2^k+k^2+8\)が成り立つことに注意して,$$
\begin{align}
f(k+1)&=3^{k+1}-\left\{2^{k+1}+(k+1)^2+8\right\}\\[1.5ex]
&=3\cdot 3^k-\left\{2^{k+1}+(k+1)^2+8\right\}\\[1.5ex]
&>3(2^k+k^2+8)-\left\{2^{k+1}+(k+1)^2+8\right\}\\[1.5ex]
&=2^k+2k^2-2k+15\\[1.5ex]
&=2^k+k^2+(k-1)^2+14>0
\end{align}
$$となり, \(n=k+1\)のときも成り立つ.

①, ② より数学的帰納法から\(n\geq 3\)を満たす\(n\)に対して, \(f(n)>0\), つまり, \(2^n+n^2+8<3^n\)が成り立つことが示された.

(2) (1)から\(n\geq 3\)のとき, \(2^n+n^2+8<3^n\)が成り立つから, \(2^n+n^2+8\geq 3^n\)となる\(n\)の候補は\(n=1\), \(n=2\)のみである.

・\(n=1\)のとき$$
\begin{align}
(左辺)&=2^1+1^2+8=11\\[1.5ex]
(右辺)&=3^1=3
\end{align}
$$より成り立つ.

・\(n=2\)のとき$$
\begin{align}
(左辺)&=2^2+2^2+8=16\\[1.5ex]
(右辺)&=3^2=9
\end{align}
$$より成り立つ.

よって, \(n=1,2\).

(3) \(n>0\), \(a,b\geq 0\)より, \(an+b\geq 0\)である, よって, 等式が成り立つとき,$$
an+b=2^n+n^2+8-3^n\geq 0
$$より, $$
2^n+n^2+8\geq 3^n
$$となり, (2)からこれを満たす\(n\)は\(n=1\), \(n=2\)に限られる.

・\(n=1\)のとき
等式は,$$
2^1+1^2+8=3^1+a\cdot 1+b\,\iff\,a+b=8
$$となるから, \(a\), \(b\)は\(0\)以上の整数であることに注意して, これを満たす\((a,b)\)は,$$
\begin{align}
(a,b)=&(0,8), (1,7), (2,6), (3,5),\\[1.5ex]
&(4,4), (5,3), (6,2), (7,1), (8,0)
\end{align}
$$の9組である.

・\(n=2\)のとき
等式は,$$
2^2+2^2+8=3^2+a\cdot 2+b\,\iff\,2a+b=7
$$となるから, \(a\), \(b\)は\(0\)以上の整数であることに注意して, これを満たす\((a,b)\)は,$$
(a,b)=(0,7), (1,5), (2,3), (3,1)
$$の4組である.

以上から, 等式を満たす\((aa,b,n)\)は,$$
\begin{align}
(a,b,n)=&(0,8,1), (1,7,1), (2,6,1), (3,5,1), (4,4,1), \\[1.5ex]
&(5,3,1), (6,2,1), (7,1,1), (8,0,1), \\[1.5ex]
&(0,7,2), (1,5,2), (2,3,2), (3,1,2)
\end{align}
$$の13通りである.