今回はこちらの問題を解いていきます.
初項から第\(n\)項までの和\(S_n\)が,$$
S_n=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+7)\,\,\,(n=1,2,3,\cdots)
$$で与えられる数列\(\{a_n\}\)がある.
(1) 数列\(\{a_n\}\)の一般項を求めよ.
(2) \(\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{1}{a_k}\)を求めよ.
(2021 北海道大学 文系 [1])
それでは解いていきましょう.
(1) まず\(a_1\)は,$$
a_1=S_1=\frac{1}{6}\times 1\times(1+1)\times(2\times 1+7)=3
$$と求まる. 次に\(n\geq 2\)のとき, \(a_n\)は,$$
\begin{align}
a_n&=S_n-S_{n-1}\\[1.5ex]
&=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+7)-\frac{1}{6}(n-1)\cdot n\cdot \left\{2(n-1)+7\right\}\\[1.5ex]
&=\frac{n}{6}\left\{(n+1)(2n+7)-(n-1)(2n+5)\right\}\\[1.5ex]
&=\frac{n}{6}\left\{2n^2+9n+7-(2n^2+3n-5)\right\}\\[1.5ex]
&=\frac{n}{6}(6n+12)\\[1.5ex]
&=n(n+2)
\end{align}
$$となる. これは, \(n=1\)のときも成り立つので, \(\{a_n\}\)の一般項は$$
a_n=n(n+2)\,\,\,(n=1,2,3,\cdots)
$$と求まる.
(2) まず, \(n=1\)のとき, $$
\sum_{k=1}^1\frac{1}{a_k}=\frac{1}{a_1}=\frac{1}{3}
$$である. 次に, \(n\geq 2\)のとき,$$
\begin{align}
\sum_{k=1}^n\frac{1}{a_k}&=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+2)}\\[1.5ex]
&=\sum_{k=1}^n\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k*2}\right)\\[1.5ex]
&=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\cdots\\[1.5ex]
&\qquad +\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)\\[1.5ex]
&=\frac{1}{2}\left(1-\cancel{\frac{1}{3}}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\cancel{\frac{1}{4}}\right)+\frac{1}{2}\left(\cancel{\frac{1}{3}}-\cancel{\frac{1}{5}}\right)+\cdots\\[1.5ex]
&\qquad +\frac{1}{2}\left(\cancel{\frac{1}{n-1}}-\frac{1}{n+1}\right)+\frac{1}{2}\left(\cancel{\frac{1}{n}}-\frac{1}{n+2}\right)\\[1.5ex]
&=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)\\[1.5ex]
&=\frac{1}{2}\cdot\frac{3(n+1)(n+2)-2(n+2)-2(n+1)}{2(n+1)(n+2)}\\[1.5ex]
&=\frac{3n^2+5n}{4(n+1)(n+2)}\\[1.5ex]
&=\frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}\\[1.5ex]
\end{align}
$$となる. これは, \(n=1\)でも成り立つので, $$
\sum_{k=1}^n\frac{1}{a_k}=\frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}\,\,\,(n=1,2,3,\cdots)
$$と求まる.
youtubeでも解説しています.
