今回はこちらの問題を解いていきます.
数列\(\{a_n\}\)は, 以下の条件を満たしている.$$
a_1=3,\qquad a_n=\frac{S_n}{n}+(n-1)\cdots 2^n\,\,(n=2,3,4,\cdots)
$$ ただし, \(S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n\)である. このとき, 数列\(\{a_n\}\)の一般項を求めよ.
(2023 京都大学 文系 [4])
それでは解いていきましょう.
まず, 与えられた条件式\(\displaystyle a_n=\frac{S_n}{n}+(n-1)\cdots 2^n\)は\(n=1\)でも成り立つ. 実際, \(n=1\)のとき, $$
\begin{align}
(左辺)&=a_1=3\\[1.5ex]
(右辺)&=\frac{S_1}{1}+0\cdots 2^0=S_1=a_1=3
\end{align}
$$となり成り立つ.
\(\displaystyle a_n=\frac{S_n}{n}+(n-1)\cdots 2^n\)から, $$
S_n=na_n-n(n-1)\cdot 2^n\,\,(n=1,2,3,\cdots)
$$となり, この\(n\)に\(n+1\)を代入することで, $$
S_{n+1}=(n+1)a_{n+1}-n(n+1)\cdots 2^{n+1}
$$が得られる. \(S_{n+1}-S_n=a_{n+1}\)に注意して, \(S_{n+1}\)の両辺から, \(S_n\)の両辺を引くと,$$
a_{n+1}=(n+1)a_{n+1}-na_n-n(n+1)\cdot 2^{n+1}+n(n-1)\cdot 2^n
$$となり, これから, $$
a_{n+1}=a_{n}+(n+3)\cdot 2^n\,\,(n=1,2,3,\cdots)
$$がわかる.
これは数列\(\{a_n\}\)の階差数列が\((n+3)\cdot 2^{n}\)となることを意味する. よって階差数列の公式から, \(n\geq 2\)のとき,$$
a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}(k+3)\cdot 2^k
$$となる. ここで, \(k=0\)のとき, \((k+3)\cdot 2^k=3\)となるので, \(\displaystyle \sum\)の開始を\(k=0\)とすることで, \(a_1\)は\(\displaystyle \sum\)の中に入れることができる. よって, $$
a_n=\sum_{k=0}^{n-1}(k+3)\cdot 2^k
$$である. これを書き下すと, $$
a_n=3\cdot 2^0+4\cdot 2^1+5\cdot 2^2+\cdots + (n+2)\cdot 2^{n-1}\\[1.5ex]
$$となるが, この両辺に\(2\)をかけて, $$
2a_n=3\cdot 2^1+4\cdot 2^2+\cdots (n+1)\cdot 2^{n-1}+(n+2)\cdot 2^n
$$となる. 下の\(2a_n\)の式の両辺から, 上の\(a_n\)の式の両辺を引いて,$$
\begin{align}
a_n&=-3\cdot 2^0-2-2^2-2^3-\cdots -2^{n-1}+(n+2)\cdot 2^n\\[1.5ex]
&=-3\cdot 2^0-(2+2^2+2^3+\cdots +2^{n-1})+(n+2)\cdot 2^n
\end{align}
$$を得る. ここで, 括弧で括った第\(2\)項は, 初項\(2\), 公比\(2\), 項数\(n-1\)の等比数列の和であるから,$$
\begin{align}
a_n&=-3-\frac{2\left(2^{n-1}-1\right)}{2-1}+(n+2)\cdot 2^n\\[1.5ex]
&=(n+1)\cdot 2^n-1
\end{align}
$$となる. これは\(n\geq 2\)を前提に導いたが, \(n=1\)でも成り立つことがわかる. よって, \(\{a_n\}\)の一般項は, $$
a_n=(n+1)\cdot 2^n-1\,\,(n=1,2,3,\cdots)
$$と求まった.
youtubeでも解説しています.
