【京都大学入試】素数に関するシンプルな整数問題（2021）

① \(p=3\)のとき$$
p^4+14=3^4+14=95=5\times 19
$$となり, \(p^4+14\)は素数でない.

② \(p\neq 3\)のとき
\(p\)は素数だから, \(p\neq 3\)のとき\(p\)は\(3\)の倍数ではない. よって, 整数\(n\)を用いて, $$
p=3n\pm 1
$$の形で表せる. このとき, $$
\begin{align}
p^4+14&=(3n\pm 1)^4+14\\[1.5ex]
&=(3n)^4+4\cdot (3n)^3\cdot (\pm 1)+6\cdot (3n)^2\cdot (\pm 1)^2+4\cdot(3n)\cdot(\pm 1)^3+(\pm 1)^4+14\\[1.5ex]
&=3\times\left(\pm 27n^4\pm 9n^3+18n^2\mp 4n+5 \right)
\end{align}
$$となり, \(p^4+14>14\)より, \(p^4+14\)は3より大きい\(3\)の倍数である. よって, \(p^4+14\)は素数でない.

①, ②より, \(p\)が素数のとき, \(p^4+14\)は素数ではないことが示された.