【名古屋大学入試】対数の大小比較と解と係数の関係(2021)

(1) \(\beta\), \(\gamma\)の対数の底を\(2\)に変換することで, \(\alpha\beta\gamma\)は以下のように計算できる.$$
\begin{align}
\alpha\beta\gamma&=\log_2{3}\log_3{5}\log_5{2}\\[1.5ex]
&=\log_2{3}\cdot\frac{\log_2{5}}{\log_2{3}}\cdot\frac{\log_2{2}}{\log_2{5}}\\[1.5ex]
&=\cancel{\log_2{3}}\cdot\frac{\cancel{\log_2{5}}}{\cancel{\log_2{3}}}\cdot\frac{\log_2{2}}{\cancel{\log_2{5}}}\\[1.5ex]
&=\log_2{2}\\[1.5ex]
&=1
\end{align}
$$
よって示された.

(2) まず, \(\alpha>1\), \(\beta>1\), \(\gamma<1\) を示す. 各対数の底\(2\), \(3\), \(5\)はいずれも\(1\)より大きいので, 対数の大小関係と, その真数の大小関係が同値であることに注意して,
$$
\begin{align}
\alpha&=\log_2{3}>\log_2{2}=1\\[1.5ex]
\beta&=\log_3{5}>\log_3{3}=1\\[1.5ex]
\gamma&=\log_5{2}<\log_5{5}=1\\[1.5ex]
\end{align}
$$となり, 示された. \(\displaystyle\delta=\frac{3}{2}>1\)は明らかなので, 唯一\(1\)より小さい\(\gamma\)が最小であることがわかる.

次に, \(1\)より大きい\(\alpha\), \(\beta\), \(\delta\)に関して, \(\alpha\)と\(\delta\), \(\beta\)と\(\delta\)の大きさをそれぞれ比較する.

・\(\alpha\)と\(\delta\)の比較$$
\begin{align}
2^{2\alpha}&=\left(2^\alpha\right)^2=3^2=9\\[1.5ex]
2^{2\delta}&=2^{2\cdot \frac{3}{2}}=2^3=8
\end{align}
$$より, \(2^{2\alpha}>2^{2\delta}\)であり, 底の\(2\)は\(1\)より大きいから, \(2\alpha>2\delta\), つまり, \(\alpha>\delta\)がわかる.

・\(\beta\)と\(\delta\)の比較$$
\begin{align}
3^{2\beta}&=\left(3^\beta\right)^2=5^2=25\\[1.5ex]
3^{2\delta}&=3^{2\cdot \frac{3}{2}}=3^3=27
\end{align}
$$より, \(3^{2\beta}<3^{2\delta}\)であり, 底の\(3\)は\(1\)より大きいから, \(2\beta<2\delta\), つまり, \(\beta<\delta\)がわかる.

以上をまとめると,$$
\gamma<1<\beta<\delta<\alpha
$$となる.

(3) \(\alpha\beta\gamma=1\)より, \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\)はいずれも\(0\)ではないので, この両辺を\(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\)でそれぞれ割ることで,$$
\begin{align}
\frac{1}{\alpha}&=\beta\gamma\\[1.5ex]
\frac{1}{\beta}&=\gamma\alpha\\[1.5ex]
\frac{1}{\gamma}&=\alpha\beta
\end{align}
$$となる. これから,$$
\begin{align}
q&=\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}\\[1.5ex]
&=\beta\gamma+\gamma\alpha+\alpha\beta
\end{align}
$$となり, \(f(x)\)の定数項\(1\)は\(\alpha\beta\gamma\)とも書けることに注意すると, 解と係数の関係から,
$$
f(x)=(x+\alpha)(x+\beta)(x+\gamma)
$$となることがわかる. この形から, \(\displaystyle f\left(-\frac{1}{2}\right)\), \(\displaystyle f\left(-1\right)\), \(\displaystyle f\left(-\frac{3}{2}\right)\)の正負を判定していく.

・\(\displaystyle f\left(-\frac{1}{2}\right)\)について
$$
f\left(-\frac{1}{2}\right)=\left(\alpha-\frac{1}{2}\right)\left(\beta-\frac{1}{2}\right)\left(\gamma-\frac{1}{2}\right)
$$であり, \(\alpha>1\), \(\beta>1\)より, \(\displaystyle \alpha-\frac{1}{2}\), \(\displaystyle \beta-\frac{1}{2}\)はいずれも正である.

ここで, $$
5^\gamma=2=\sqrt{4}<\sqrt{5}=5^\frac{1}{2}
$$であり, 底\(5\)は\(1\)より大きいので, これから, \( \displaystyle \gamma<\frac{1}{2}\)がわかり, \(\displaystyle \gamma-\frac{1}{2}\)は負になる.

以上から, \( \displaystyle f\left(-\frac{1}{2}\right)\)は「(正)×(正)×(負)」となっているので, \( \displaystyle f\left(-\frac{1}{2}\right)<0\)がわかった.

・\(f\left(-1\right)\)について
$$
f\left(-1\right)=\left(\alpha-1\right)\left(\beta-1\right)\left(\gamma-1\right)
$$と表せる. \(\alpha>1\), \(\beta>1\)より, \(\displaystyle \alpha-1\), \(\displaystyle \beta-1\)はいずれも正であり, \(\gamma<1\)より, \(\displaystyle \gamma-1\)は負である.

以上から, \( \displaystyle f\left(-1\right)\)は「(正)×(正)×(負)」となっているので, \( \displaystyle f\left(-1\right)<0\)がわかった.

・\(\displaystyle f\left(-\frac{3}{2}\right)\)について
\(\displaystyle\delta=\frac{3}{2}\)であることに注意して, \(\displaystyle f\left(-\frac{3}{2}\right)\)は,
$$
\begin{align}
f\left(-\frac{3}{2}\right)&=\left(\alpha-\frac{3}{2}\right)\left(\beta-\frac{3}{2}\right)\left(\gamma-\frac{3}{2}\right)\\[1.5ex]
&=(\alpha-\delta)(\beta-\delta)(\gamma-\delta)
\end{align}
$$と表せる. ここで, \(\alpha>\delta\) より, \(\displaystyle \alpha-\delta\)は正であり, \(\beta<\delta\), \(\gamma<\delta\)より, \(\displaystyle \beta-\delta\), \(\displaystyle \gamma-\delta\)はいずれも負である.

以上から, \( \displaystyle f\left(-\frac{3}{2}\right)\)は「(正)×(負)×(負)」となっているので, \( \displaystyle f\left(-\frac{3}{2}\right)>0\)がわかった.