【大阪大学入試】サイコロの最小公倍数・最大公約数を扱う確率問題(2022)

2025年8月16日2025年8月18日

今回はこちらの問題を解いていきます.

$n$を$2$以上の自然数とし, $1$個のサイコロを$n$回投げ, $k$回目に出たサイコロの目を$X_k$$(k=1,2,\cdots ,n)$とする. $X_1$, $X_2$,$\cdots$, $X_n$の最小公倍数を$L_n$, 最大公約数を$G_n$とするとき, 以下の問いに答えよ.
(1) $L_2=5$となる確率, および, $G_2=5$となる確率を求めよ.
(2) $L_n$が素数でない確率を求めよ.
(3) $G_n$が素数でない確率を求めよ.
(2022 大阪大学文系 [2])

それでは解いていきましょう.

(1) まず, $L_2=5$となるサイコロの目の出方の総数を調べる.

$L_2=5$はサイコロを$2$回投げて出た目の最小公倍数が$5$になることを意味するが, 一度でも$2$, $3$, $4$, $6$のいずれかの目が出てしまうと, $L_2$は$5$以外の素因数を持つことになり, $L_2=5$とならない. よって, 出ることが許されるサイコロの目は$1$, $5$の$2$通りであるが, $1$回目も$2$回目も$1$の目が出た場合のみ, $L_2=1$となってしまうから, これは除外する必要がある.

以上から, $L_2=5$となるサイコロの目の出方の総数は, $(5,5)$, $(1,5)$, $(5,1)$の$3$通りであり, サイコロの目の出方の総数は$6^2$であるから, $L_2=5$となる確率は, $\displaystyle\frac{3}{6^2}=\frac{1}{12}$となる.

次に, $G_2=5$となるサイコロの目の出方の総数を調べる.

$G_2=5$はサイコロを$2$回投げて出た目の最大公約数が$5$になることを意味する. よって, $2$回とも, $5$を約数に持つサイコロの目が出る必要があるが, そのようなサイコロの目は$5$のみである.

以上から, $G_2=5$となるサイコロの目の出方の総数は, $(5,5)$の$1$通りであり, サイコロの目の出方の総数は$6^2$であるから, $G_2=5$となる確率は, $\displaystyle\frac{1}{6^2}=\frac{1}{36}$となる.

(2) まず, $L_n$が素数となる確率を求める. $L_n$はサイコロの目である, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$が持つ素因数をかけあわせたものになることから, $L_n$が素数となるのは, $L_n=2$, $L_n=3$, $L_n=5$のいずれかのときである. この各場合において, サイコロの目の出方の総数を調べていく.

・$L_n=2$のとき
全$n$回のサイコロ投げで, $3$, $4$, $5$, $6$の目が一度でも出てしまうと, $L_n>2$となってしまうため, $L_n=2$となるために出ることが許されるサイコロの目は, $1$, $2$のみである. しかし, 全$n$回で全て$1$の目が出てしまうと, $L_n=1$となってしまうので, これは除外する必要がある. よって, $L_n=2$となるサイコロの目の出方の総数は$2^n-1$である.

・$L_n=3$のとき
全$n$回のサイコロ投げで, $2$, $4$, $5$, $6$の目が一度でも出てしまうと, $L_n$は$3$以外の素因数を持つことになってしまうため, $L_n=3$とならない. よって, $L_n=3$となるために出ることが許されるサイコロの目は, $1$, $3$のみである. しかし, 全$n$回で全て$1$の目が出てしまうと, $L_n=1$となってしまうので, これは除外する必要がある. よって, $L_n=3$となるサイコロの目の出方の総数は, $2^n-1$である.

・$L_n=5$のとき
$L_n=3$のときと同様の考えで, $L_n=5$となるために出ることが許されるサイコロの目は, $1$, $5$のみである. そして同様に, 全$n$回で全て$1$の目が出る場合を除外して, $L_n=5$となるサイコロの目の出方の総数は$2^n-1$である.

$L_n=2$, $L_n=3$, $L_n=5$の各事象は排反だから, $L_n$が素数となるサイコロの目の出方の総数はこれらの和となり, $3\times(2^n-1)$である. サイコロの目の出方の総数は$6^n$であるので, $L_n$が素数となる確率は, $$
\frac{3\left(2^n-1\right)}{6^n}
$$である. 求めたかったのは$L_n$が素数とならない確率だったので, これを$1$から引くことで,$$
1-\frac{3\left(2^n-1\right)}{6^n}=\frac{6^n-3\cdot 2^n-3}{6^n}
$$と求まる.

(3) まず, $G_n$が素数となる確率を求める. $G_n$はサイコロの目の最大公約数であることから, $6$以下の値をとる. これから, $G_n$が素数となるのは, $G_n=2$, $G_n=3$, $G_n=5$のいずれかのときである. この各場合において, サイコロの目の出方の総数を調べていく.

・$G_n=2$のとき
全$n$回のサイコロ投げで, $1$, $3$, $5$の目が一度でも出てしまうと, $G_n$はこれらの目の約数となるため, $G_n=2$とならない. よって, $G_n=2$となるために出ることが許されるサイコロの目は, $2$, $4$, $6$のみである. しかし, 全$n$回で全てで$4$または, 全てで$6$の目が出てしまうと, $G_n=4$, または, $G_n=6$となってしまうので, この$2$パターンは除外する必要がある. よって, $G_n=2$となるサイコロの目の出方の総数は$3^n-2$である.

・$G_n=3$のとき
全$n$回のサイコロ投げで, $1$, $2$, $4$, $5$の目が一度でも出てしまうと, $G_n$はこれらの目の約数となるため, $G_n=3$とならない. よって, $G_n=3$となるために出ることが許されるサイコロの目は, $3$, $6$のみである. しかし, 全$n$回で全てで$6$の目が出てしまうと, $G_n=6$となってしまうので, これは除外する必要がある. よって, $G_n=3$となるサイコロの目の出方の総数は$2^n-1$である.

・$G_n=5$のとき
全$n$回のサイコロ投げで, $1$, $2$, $3$, $4$, $6$の目が一度でも出てしまうと, $G_n$はこれらの目の約数となるため, $G_n=5$とならない. よって, $G_n=5$となるために出ることが許されるサイコロの目は$5$のみであり, $G_n=5$となるのは, 全$n$回全てで$5$の目が出るときに限る. よって, $G_n=5$となるサイコロの目の出方の総数は$1$である.

$G_n=2$, $G_n=3$, $G_n=5$の各事象は排反だから, $G_n$が素数となるサイコロの目の出方の総数はこれらの和となり, $3^n+2^n-2$である. サイコロの目の出方の総数は$6^n$であるので, $G_n$が素数となる確率は, $$
\frac{3^n+2^n-2}{6^n}
$$である. 求めたかったのは$G_n$が素数とならない確率だったので, これを$1$から引くことで,$$
1-\frac{3^n+2^n-2}{6^n}=\frac{6^n-3^n-2^n+2}{6^n}
$$と求まる.

youtubeでも解説しています.