今回はこちらの問題を解いていきます.
実数\(t\)の関数$$
F(t)=\int_0^1|x^2-t^2|\,dx
$$について, 以下の問いに答えよ.
(1) \(0\leq t\leq 1\)のとき, \(F(t)\)を\(t\)の整式として表せ.
(2) \(t\geq 0\)のとき, \(F(t)\)の最小値を求めよ.
(2022 東北大学 [2])
それでは解いていきましょう.
(1) \(0\leq t\leq 1\)のとき, \(x^2-t^2\)は\(0\leq x\leq t\)の範囲で\(0\)以下, \(t\leq x\leq 1\)の範囲で\(0\)以上になるので,$$
\begin{align}
F(t)&=\int_0^1 \left|x^2-t^2\right|\,dx\\[1.5ex]
&= \int_0^t \left\{-\left(x^2-t^2\right)\right\}\,dx+\int_t^1 \left(x^2-t^2\right)\,dx\\[1.5ex]
&=-\left[\frac{x^3}{3}-t^2x\right]_0^t+\left[\frac{x^3}{3}-t^2x\right]_t^1\\[1.5ex]
&=-\frac{t^3}{3}+t^3+\frac{1}{3}-t^2-\frac{t^3}{3}+t^3\\[1.5ex]
&=\frac{4}{3}t^3-t^2+\frac{1}{3}
\end{align}
$$となり, \(F(t)\)を\(t\)の整式で表すことができた.
(2) (1)で\(0\leq t\leq 1\)の場合を考察しているので, \(t>1\)のときを考える. このとき, \(0\leq x\leq 1\)で\(x^2-t^2\)は負なので, \(F(t)\)を計算すると, $$
\begin{align}
F(t)&=\int_0^1\left|x^2-t^2\right|\,dx\\[1.5ex]
&=-\int_0^1\left(x^2-t^2\right)\,dx\\[1.5ex]
&=-\left[\frac{x^3}{3}-t^2x\right]_0^1\\[1.5ex]
&=t^2-\frac{1}{3}
\end{align}
$$となる. これで\(t\geq 0\)の範囲で\(F(t)\)を\(t\)の整式で書けたので, ①\(0\leq t\leq 1\), ②\(1<t\)の各場合において\(F(t)\)の増減を調べていく.
① \(0\leq t \leq 1\)のとき
$$
F^\prime(t)=4t^2-2t=4t\left(t-\frac{1}{2}\right)
$$より, \(F^\prime(t)=0\)とすると, \(\displaystyle t=0, \frac{1}{2}\)である.
② \(1<t\)のとき
$$
F^\prime(t)=2t>0
$$である.
よって, \(t\geq 0\)の範囲で増減表を書くと,$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
t & 0 & \cdots & \frac{1}{2} & \cdots & 1 & \cdots \\[1.5ex]
\hline
F'(t) & 0 & – & 0 & + & + & +\\[1.5ex]
\hline
F(t) & & \searrow & &\nearrow& & \nearrow\\[1.5ex]
\hline
\end{array}
$$となり, \(F(t)\)は\(\displaystyle t=\frac{1}{2}\)のとき最小値をとることがわかり, その最小値は,
$$
\begin{align}
F\left(\frac{1}{2}\right)&=\frac{4}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^3-\left(\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{3}\\[1.5ex]
&=\frac{1}{6}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{1}{4}
\end{align}
$$である.
youtubeでも解説しています.
