【電気通信大学入試】交差する3数列の一般項と無限級数（2025）

(1) 与えられた漸化式で\(n=1\)とすることで,$$
\begin{align}
a_2=b_1+c_1=2+3=5\\[1.5ex]
b_2=c_1+a_1=3+1=4\\[1.5ex]
c_2=a_1+b_1=1+2=3\\[1.5ex]
\end{align}$$と求まる.

(2) 漸化式から\(a_{n+1}-b_{n+1}\)を計算すると,$$
\begin{align}
a_{n+1}-b_{n+1}&=(b_n+c_n)-(c_n-a_n)\\[1.5ex]
&=-(a_n-b_n)
\end{align}
$$となり, 数列\(\{a_n-b_n\}\)は公比が\(-1\)の等比数列となる. よって,
$$
a_n-b_n=(a_1-b_1)\cdot(-1)^{n-1}=(-1)^n
$$と求まる.

同様に, \(c_{n+1}-b_{n+1}\)を計算すると,$$
\begin{align}
c_{n+1}-b_{n+1}&=(a_n+b_n)-(c_n-a_n)\\[1.5ex]
&=-(c_n-b_n)
\end{align}
$$となり, 数列\(\{c_n-b_n\}\)も公比が\(-1\)の等比数列となる. よって,
$$
c_n-b_n=(c_1-b_1)\cdot(-1)^{n-1}=(-1)^{n-1}
$$と求まる.

(3) (2)で求めた以下の2つの関係式について,$$
\begin{align}
a_n-b_n&=(-1)^n\\[1.5ex]
c_n-b_n&=(-1)^{n-1}
\end{align}
$$この辺々を足すと, \(a_n+c_n=b_{n+1}\)より,$$
b_{n+1}-2b_n=(-1)^n+(-1)^{n-1}
$$となる. ここで, \((-1)^n=-(-1)^{n-1}\)より, この左辺は\(0\)になるから,$$
b_{n+1}=2b_n
$$がわかる. よって, 数列\(\{b_n\}\)は公比が\(2\)の等比数列となり, \(b_1=2\)より,$$
b_n=b_1\cdot 2^{n-1}=2^n
$$として, \(b_n\)の一般項が求まった.

(4) (2), (3)の結果から,$$
\begin{align}
a_n=b_n+(-1)^n=2^n+(-1)^n\\[1.5ex]
c_n=b_n+(-1)^{n-1}=2^n+(-1)^{n-1}
\end{align}
$$と求まる.

(5) \(\displaystyle \frac{a_n}{c_n}\)の極限を求めると,$$
\begin{align}
\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n}{c_n}&=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{2^n+(-1)^n}{2^n+(-1)^{n-1}}\\[1.5ex]
&=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1+(-\frac{1}{2})^n}{1+\frac{1}{2}\cdot(-\frac{1}{2})^{n-1}}\\[1.5ex]
&=1
\end{align}
$$となり, これは\(0\)に収束しない. よって, \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{c_n}\)も収束しないことがわかる.