今回はこちらの問題を解いていきます.
(1) \(t\)を\(t>1\)を満たす実数とする. 正の実数\(x\)が次の2つの条件$$
x>\frac{1}{\sqrt{t}-1},\,\,\,x\geq 2\log_t{x}
$$をともに満たすとする. このとき,
$$
x+1> 2\log_t{(x+1)}
$$が成り立つことを示せ.
(2) \(n\leq 2\log_2{n}\)を満たす正の整数\(n\)をすべて求めよ.
(2024 東北大学 文系 [3])
それでは解いていきましょう.
(1) \(t>1\) より\(\sqrt{t}-1>0\) であること, また\(x>0\)であることに注意して1つ目の条件式を同値変形して,$$
\begin{align}
&x>\frac{1}{\sqrt{t}-1}\\[1.5ex]
\iff & x(\sqrt{t}-1)>1\\[1.5ex]
\iff & \sqrt{t}-1>\frac{1}{x}\\[1.5ex]
\iff & \sqrt{t}>\frac{1}{x}+1\\[1.5ex]
\iff & \sqrt{t}>\frac{x+1}{x}
\end{align}
$$となる. ここで, 上の不等式で両辺とも正であるので, 両辺を\(t\)を底とする対数をとることができる. \(t>1\)であるから, 底を\(t\)とする対数をとっても不等号の向きは変わらないので, $$
\begin{align}
&x>\frac{1}{\sqrt{t}-1}\\[1.5ex]
\iff & \sqrt{t}>\frac{x+1}{x}\\[1.5ex]
\iff & \log_t{\sqrt{t}}>\log_t{\frac{x+1}{x}}\\[1.5ex]
\iff & \frac{1}{2}>\log_t{(x+1)}-\log_t{x}\\[1.5ex]
\iff & 1>2\log_t{(x+1)}-2\log_t{x}
\end{align}
$$となる. これは前提で成り立っている1つ目の条件式と同値であるから, こちらの不等式も成り立っており, 2つ目の条件式\(\displaystyle x\geq 2\log_t{x}\)も成り立っているので, 辺々を足して, $$
x+1>2\log_t{x+1}
$$がわかり, これが示したかった不等式である.
(2) まず\(n\)が小さい方から不等式が成り立つかを調べていく.
\(n=1\)のとき, 左辺は\(1\), 右辺は\(0\)となって成り立たない.
\(n=2\)のとき, 左辺, 右辺共に\(2\)となって成り立つ.
\(n=3\)のとき, 左辺は\(3\), 右辺は\(2\log_2{3}\)であるが,
$$
2\log_2{3}=\log_2{9}>\log_2{8}=3
$$となり, 成り立つことがわかる.
\(n=4\)のとき, 左辺, 右辺共に\(4\)となって成り立つ.
ここで, (1)にて\(x=4\), \(t=2\)としてみると, (1)の前提となる2つの条件$$
\begin{align}
4&>\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1=2.41\cdots\\[1.5ex]
4&\geq 2\log_2{4}=4
\end{align}
$$が共に満たされていることがわかる. よって(1)の結果より, $$
5>2\log_2{5}
$$となり, \(n=5\)のときは成り立たないことがわかる.
これから, \(n\geq 5\)のとき\(n>2\log_2{n}\)となることを数学的帰納法により示す.
① \(n=5\)のとき
これは上で示したので成り立つことがわかる.
② \(n=k\)のとき成り立つと仮定して, \(n=k+1\)のときも成り立つことを示す.
まず仮定から, $$
k>2\log_2{k}
$$が成り立っている. また, 今\(k\)は\(5\)以上を想定しているので,
$$
k>\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1=2.41\cdots
$$も成り立っている. この2つの不等式は, (1)で\(x=k\), \(t=2\)としたものである.
よって, (1)の結果から,$$
k+1>2\log_2{(k1+1)}
$$となり, \(n=k+1\)のときも成り立つことがわかる.
①, ②より数学的帰納法にて\(n\geq 5\)のとき\(n>2\log_2{n}\)が成り立つことが示された.
よって(2)の不等式\(n\leq 2\log_2{n}\)を満たす正の整数\(n\)は先に求めた, \(n=2,3,4\)のみであることがわかった.
youtubeでも解説しています.
