今回はこちらの問題を解いていきます.
\(a\)を正の実数とするとき, \(xy\)平面上で, 以下の条件$$
2^{-\frac{1}{2}y}a^{2x}=2^{-\frac{1}{2}(x^2+1)}
$$を満たす点\((x,y)\)全体で作られる図形を\(C\)とする. 以下の問いに答えよ.
(1) \(C\)は放物線であることを示せ.
(2) \(0<\theta<\pi\)とする. \(a=\sin{\theta}\)としたときの, 放物線\(C\)の頂点の座標を\((s,t)\)とする. \(|s+t|\leq 1\)が成り立つような\(\theta\)の範囲を求めよ.
(2025 大阪公立大学 文系 [2])
それでは解いていきましょう.
(1) \(a>0\)より条件式の両辺は正であるから, 条件式の両辺で底を\(2\)とする対数をとることが可能である. また, 一般に正の実数 \(a\neq 1\), \(p\), \(q\)に対し,
$$
p=q\,\,\,\iff\,\,\,\log_a{p}=\log_a{q}
$$が成り立つから, 対数をとった条件式も元の条件式と同値になる. よって,
$$
\begin{align}
&2^{-\frac{1}{2}y}a^{2x}=2^{-\frac{1}{2}(x^2+1)}\\[1.5ex]
\iff & \log_2{2^{-\frac{1}{2}y}a^{2x}}=\log_2{2^{-\frac{1}{2}(x^2+1)}}\\[1.5ex]
\iff & -\frac{1}{2}y+2x\log_2{a}=-\frac{1}{2}(x^2+1)\\[1.5ex]
\iff & y=x^2+4\left(\log_2{a}\right)x+1
\end{align}
$$となり, これは放物線の方程式に他ならない.
(2) \(a=\sin{\theta}\)で\(\theta\)は\(0<\theta<\pi\)の範囲を動くから, \(a\)は\(0<a\leq 1\)の範囲を動くことがわかる. \(A=\log_{2}{a}\)とおくと, \(0<a\leq 1\)より, \(A\leq 0\)となる. このとき, (1)で求めた放物線の方程式は,
\(\displaystyle y=x^2+4Ax+1\)となり, 平方完成すると,
$$
y=(x+2A)^2-4A^2+1
$$となる. これから, $$
s=-2A,\,\,\,t=-4A^2+1
$$と表せる. \(\displaystyle |s+t|\leq 1\)は, $$
\begin{align}
&|-2A-4A^2+1|\leq 1\\[1.5ex]
\iff & |4A^2+2A-1|\leq 1
\end{align}
$$となるので, この不等式を\(A\)について解くことで, 最終的に\(\theta\)の範囲を求めていく.
$$
\begin{align}
&|4A^2+2A-1|\leq 1\\[1.5ex]
\iff & -1\leq 4A^2+2A-1\leq 1\\[1.5ex]
\iff & -1\leq 4A^2+2A-1\,\,\,かつ\,\,\,4A^2+2A-1\leq 1\\[1.5ex]
\iff & 4A\left(A+\frac{1}{2}\right)\geq 0\,\,\,かつ\,\,\,2A^2+A-1\leq 0\\[1.5ex]
\iff & 「A\leq -\frac{1}{2}\,\,\,または\,\,\,A\geq 0」\,\,\,かつ\,\,\, (2A-1)(A+1)\leq 0\\[1.5ex]
\iff & 「A\leq -\frac{1}{2}\,\,\,または\,\,\,A\geq 0」\,\,\,かつ\,\,\, -1\leq A\leq \frac{1}{2}\\[1.5ex]
\iff & -1\leq A\leq -\frac{1}{2} \,\,\,または\,\,\,0\leq A\leq \frac{1}{2}
\end{align}
$$となる. しかし, 前提の\(A\leq 0\)から, \(A\)の範囲は,
$$
-1\leq A\leq -\frac{1}{2} \,\,\,または\,\,\,A=0
$$となる.
\(\displaystyle A=\log_2{a}\)だったので, これは,
$$
\begin{align}
&-1\leq \log_2{a}\leq -\frac{1}{2} \,\,\,または\,\,\,\log_2{a}=0\\[1.5ex]
\iff &2^{-1}\leq a \leq 2^{-\frac{1}{2}}\,\,\,または\,\,\,a=1\\[1.5ex]
\iff &\frac{1}{2}\leq a \leq \frac{1}{\sqrt{2}}\,\,\,または\,\,\,a=1\\[1.5ex]
\end{align}
$$となる.
さらに, \(a=\sin{\theta}\)と置いていたので, 問題で与えられている\(\theta\)の範囲\(0<\theta<\pi\)を前提として, これは,
$$
\begin{align}
&\frac{1}{2}\leq \sin{\theta} \leq \frac{1}{\sqrt{2}}\,\,\,または\,\,\,\sin{\theta}=1\\[1.5ex]
\iff & \frac{\pi}{6}<\theta < \frac{\pi}{4} \,\,\, または\,\,\,\frac{3\pi}{4}<\theta<\frac{5\pi}{6}\,\,\,または\,\,\,\theta=\frac{\pi}{2}
\end{align}
$$となって, これが求める\(\theta\)の範囲である.
youtubeでも解説しています.
