今回はこちらの問題を解いていきます.
\(a\)を正の実数とするとき, 2つの円$$
C_1:x^2+y^2=a,\,\,\,C_2:x^2+y^2-6x-4y+3=0
$$が異なる2点\(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\)で交わっているとする. 直線\(\mathrm{AB}\)が\(x\)軸と交わる点を\((p,0)\), \(y\)軸と交わる点を\((0,q)\)とするとき, 以下の問いに答えよ.
(1) \(a\)のとりうる値の範囲を求めよ.
(2) \(p\), \(q\)の値を\(a\)を用いて表せ.
(3) \(p\), \(q\)の値が共に整数となるような\(a\)の値を全て求めよ.
(2023 神戸大学 文系 [3])
それでは解いていきましょう.
(1) \(C_1\)は原点を中心とする半径\(\sqrt{a}\)の円であり, \(C_2\)の方程式は,
$$
(x-3)^2+(y-2)^2=\sqrt{10}^2
$$のように変形できるから, \(C_2\)は\((3,2)\)を中心とする半径\(\sqrt{10}\)の円である. \(C_1\), \(C_2\)の中心間の距離は, \(\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}\)となることから, \(C_1\), \(C_2\)が\(2\)点で交わる必要十分条件は, $$
\left|\sqrt{10}-\sqrt{a}\right|<\sqrt{13}<\sqrt{10}+\sqrt{a}
$$である. 左の不等式から, $$
\begin{align}
& -\sqrt{13}<\sqrt{10}-\sqrt{a}<\sqrt{13}\\[1.5ex]
\iff & \sqrt{a}<\sqrt{13}+\sqrt{10}
\end{align}
$$となり, 右の不等式から, $$
\sqrt{13}-\sqrt{10}<\sqrt{a}
$$となるから, 結果, $$
\sqrt{13}-\sqrt{10}<\sqrt{a}<\sqrt{13}+\sqrt{10}
$$となる. どの辺も正であるから, 各辺を二乗して, $$
23-2\sqrt{130}<a<23+2\sqrt{130}
$$がとりうる\(a\)の値の範囲である.
(2) 任意の実数\(k\)に対し, 以下の方程式$$
k\left(x^2+y^2-a\right)+\left(x^2+y^2-6x-4y+3\right)=0
$$を満たす曲線を考えると, \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\)はどちらも\(C_1\), \(C_2\)上にあるので, この曲線は\(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\)を通ることがわかる.
ここで, \(k=-1\)とすると, この方程式は,$$
-6x-4y+3+a=0
$$となり, これは直線の方程式である. この直線は2点, \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\)を通り, 異なる2点を通る直線は1つしかないから, これが直線\(\mathrm{AB}\)の方程式に他ならない.
よって, \(y=0\), \(x=0\)とすることで,
$$
p=\frac{3+a}{6},\,\,\,q=\frac{3+a}{4}
$$となることがわかる.
(3) (2)より, \(p\), \(q\)が共に整数となる必要十分条件は, \(3+a\)が\(6\)と\(4\)の倍数になること, つまり, \(3+a\)が\(12\)の倍数になることである. もちろん前提として\(a\)は(1)で求めた範囲にある必要がある. ここで,
$$
11^2=121<130<132.25=11.5^2
$$より,
$$
11<\sqrt{130}<11.5
$$が成り立ち, これから,
$$
22<2\sqrt{130}<23
$$がわかる. よって,
$$
0<23-2\sqrt{130}<1,\,\,\,45<23+2\sqrt{130}<46
$$がわかるので, \(a\)を整数の範囲で考えると, ①の範囲は
$$
1\leq a \leq 45
$$となる. これから,
$$
4\leq a + 3 \leq 48
$$がわかり, この範囲で\(a+3\)が\(12\)の倍数になるのは,
$$
a+3=12, 24, 36, 48
$$である. よって, \(p\), \(q\)の値が共に整数となるような\(a\)の値は,
$$
a=9, 21, 33, 45
$$の4通りである.
youtubeでも解説しています.
