【大阪大学入試】三角方程式が実数解をもつための条件を求める(2023)

2025年8月5日

今回はこちらの問題を解いていきます.

実数$a, b$に対して, 以下の$\theta$についての方程式が, 実数解をもつような$(a,b)$の存在範囲を座標平面上に図示せよ.$$
\cos{2\theta}=a\sin{\theta}+b
$$
(2023 大阪大学文系 [1])

それでは解いていきましょう.

与えられた$\theta$に関する方程式$\displaystyle \cos{2\theta}=a\sin{\theta}+b$を①とおく.
$\cos{2\theta}=1-2\sin^2{\theta}$より, 与えられた方程式は,
$$
2\sin^2{\theta}+a\sin{\theta}+b-1=0
$$と変形できる. ここで, $t=\sin{\theta}$とおくと, この方程式は,
$$
2t^2+at+b-1=0\,\,\,・・・②
$$と変形でき, これは$t$に関する2次方程式となる. $-1\leq t\leq 1$なる$t$に対し, $\sin{\theta}=t$となる$\theta$が存在し, $|t|>1$なる$t$に関しては$\sin{\theta}=t$となる$\theta$が存在しないことに注意すると, この$t$に関する方程式が$-1\leq t\leq 1$の範囲の解を持つことが, ①が実数解を持つ必要十分条件となることがわかる.

$f(t)=2t^2+at+b-1$とおくと, $$
f(t)=2\left(t+\frac{a}{4}\right)^2-\frac{a^2}{8}+b-1
$$と変形できるので, 横軸に$t$, 縦軸に$y$をとると, $y=f(t)$のグラフは, $\displaystyle \left(-\frac{a}{4}, -\frac{a^2}{8}+b-1\right)$を頂点とする, 下に凸の放物線となる. この放物線の軸は$\displaystyle t=-\frac{a}{4}$であり, 軸に関して場合分けをすることで, ②が$-1\leq t\leq 1$の範囲に解を持つ, 言い換えると, $y=f(t)$が$t$軸と$-1\leq t\leq 1$の範囲で共有点を持つ$(a,b$)の条件を調べていく.

1) 軸が直線$t=-1$より左にあるとき, つまり, $ \displaystyle -\frac{a}{4}<-1 \iff a>4$のとき
このときグラフは以下の図のようになる.

よって, $y=f(t)$が$t$軸と$-1\leq t\leq 1$で共有点を持つ必要十分条件は,
$$
f(-1)\leq 0 \,\,\,かつ\,\,\,f(1)\geq 0
$$となる.$$
\begin{align}
&f(-1)=2-a+b-1=-a+b+1\leq 0\\[1.5ex]
\iff & b\leq a-1
\end{align}
$$であり, $$
\begin{align}
&f(1)=2+a+b-1=a+b+1\geq 0\\[1.5ex]
\iff & b\geq -a-1
\end{align}
$$となる.

2) 軸が$-1\leq t\leq 1$の領域にあるとき, つまり, $\displaystyle -1\leq -\frac{a}{4}\leq 1 \iff -4\leq t\leq 4$のとき
このときグラフは以下の図のようになる.

よって, $y=f(t)$が$t$軸と$-1\leq t\leq 1$で共有点を持つ必要十分条件は, $$
f\left(-\frac{a}{4}\right)\leq 0\,\,\,かつ\,\,\,「f(-1)\geq 0\,\,\,または\,\,\,f(1)\geq 0」
$$となる. $\displaystyle f\left(-\frac{a}{4}\right)\leq 0$, $f(-1)\geq 0$, $f(1)\geq 0$をそれぞれ変形すると.
$$
\begin{align}
&f\left(-\frac{a}{4}\right) = -\frac{a^2}{8}+b-1 \leq 0\\[1.5ex]
\iff & b\leq \frac{a^2}{8}+1
\end{align}
$$
$$
\begin{align}
&f(-1)=2-a+b-1=-a+b+1\geq 0\\[1.5ex]
\iff & b\geq a-1
\end{align}
$$
$$
\begin{align}
&f(1)=2+a+b-1=a+b+1\geq 0\\[1.5ex]
\iff & b\geq -a-1
\end{align}
$$である.

③ 軸が直線$t=1$より右にあるとき, つまり, $ \displaystyle -\frac{a}{4}>1 \iff a<-4$のとき
このときグラフは以下の図のようになる.

よって, $y=f(t)$が$t$軸と$-1\leq t\leq 1$で共有点を持つ必要十分条件は,
$$
f(-1)\geq 0 \,\,\,かつ\,\,\,f(1)\leq 0
$$となる.$$
\begin{align}
&f(-1)=2-a+b-1=-a+b+1\geq 0\\[1.5ex]
\iff b & \geq a-1
\end{align}
$$であり, $$
\begin{align}
&f(1)=2+a+b-1=a+b+1\leq 0\\[1.5ex]
\iff & b\leq -a-1
\end{align}
$$となる.

1), 2), 3)より, $y=f(t)$が$t$軸と$-1\leq t\leq 1$で共有点を持つ$(a,b)$の領域を図示すると, 以下のようになる.