今回はこちらの問題を解いていきます.
整式\(f(x)\)について次の恒等式が成り立つとき, \(f(x)\)を求めよ.
$$
f(x)+\int_{-1}^{1}(x-y)^2f(y)\,dy=2x^2+x+\frac{5}{3}
$$(2023 京都大学 文系 [5])
積分も入っていることから一見難しそうですが, 積分部分は式変形すると, \(x\)の\(2\)次以下の整式であることがわかります. よって\(f(x)\)も\(2\)次以下の整式になることがわかり, これを糸口に問題を解くことができます.
それでは解いていきましょう.
恒等式から,
$$
\begin{align}
f(x)&=2x^2+x+\frac{5}{3}-\int_{-1}^{1}(x-y)^2f(y)\,dy\\[1.5ex]
&=2x^2+x+\frac{5}{3}-\int_{-1}^{1}(x^2-2xy+y^2)f(y)\,dy\\[1.5ex]
&=2x^2+x+\frac{5}{3}-\int_{-1}^{1}(x^2f(y)-2xyf(y)+y^2f(y))\,dy\\[1.5ex]
&=2x^2+x+\frac{5}{3}-x^2\int_{-1}^{1}f(y)\,dy+2x\int_{-1}^{1}yf(y)\,dy+\int_{-1}^{1}y^2f(y)\,dy\\[1.5ex]
&=\left(2-\int_{-1}^{1}f(y)\,dy\right)x^2+\left(1+2\int_{-1}^{1}yf(y)\,dy\right)x+\frac{5}{3}-\int_{-1}^{1}y^2f(y)\,dy
\end{align}
$$となり, \(\displaystyle \int_{-1}^{1}f(y)\,dy\), \(\displaystyle \int_{-1}^{1}yf(y)\,dy \), \(\displaystyle \int_{-1}^{1}y^2f(y)\,dy \)はいずれも定数なので, \(f(x)\)は\(2\)次以下の整式であることがわかる.
よって, \(a\), \(b\), \(c\)を実数として, $$
f(x)=ax^2+bx+c
$$とおいて, \(x\)の各次数の係数を比較すると,
$$
\left\{ \begin{aligned}
a&=2-\int_{-1}^{1}\left(ay^2+by+c\right)\,dy\,\,\,\,\text{ ・・・①} \\[1.5ex]
b&=1+2\int_{-1}^{1}y\left(ay^2+by+c\right)\,dy\,\,\,\,\text{ ・・・②}\\[1.5ex]
c&=\frac{5}{3}-\int_{-1}^{1}y^2\left(ay^2+by+c\right)\,dy\,\,\,\,\text{ ・・・③}
\end{aligned} \right.
$$となる.
ここで, $$
\begin{align}
\int_{-1}^{1}y\,dy&=0\\[1.5ex]
\int_{-1}^{1}y^2\,dy&=2\int_0^1y^2\,dy=2\left[\frac{y^3}{3}\right]_0^1=\frac{2}{3}\\[1.5ex]
\int_{-1}^{1}y^3\,dy&=0\\[1.5ex]
\int_{-1}^{1}y^4\,dy&=2\int_0^1y^4\,dy=2\left[\frac{y^5}{5}\right]_0^1=\frac{2}{5}
\end{align}
$$に注意して, ①は
$$
\begin{align}
a&=2-\int_{-1}^{1}\left(ay^2+by+c\right)\,dy\\[1.5ex]
&=2-\frac{2a}{3}-2c\\[1.5ex]
\iff & 5a+6c=6
\end{align}
$$となる. ②は,
\begin{align}
b&=1+2\int_{-1}^{1}y\left(ay^2+by+c\right)\,dy\\[1.5ex]
&=1+2\int_{-1}^{1}\left(ay^3+by^2+cy\right)\,dy\\[1.5ex]
&=1+2\times \frac{2b}{3}\\[1.5ex]
\iff & b=-3
\end{align}となり, \(b\)が決まる. 最後に③より,
$$
\begin{align}
c&=\frac{5}{3}-\int_{-1}^{1}y^2\left(ay^2+by+c\right)\,dy\\[1.5ex]
&=\frac{5}{3}-\int_{-1}^{1}\left(ay^4+by^3+cy^2\right)\,dy\\[1.5ex]
&=\frac{5}{3}-\frac{2a}{5}-\frac{2c}{3}\\[1.5ex]
\iff & 6a+25c=25
\end{align}
$$となり, ①, ③より, \(a=0\), \(c=1\)がわかる.
よって,
$$
f(x)=-3x+1
$$と求まる.
youtubeでも解説しています.
