【一橋大学入試】共有点で接線が直交する2つの2次関数に囲まれる面積(2024)

2025年7月27日2025年8月1日

今回はこちらの問題を解いていきます.

$a$, $b$を実数として, 2つの曲線$C_1: y=x^2$と$C_2:y=-x^2+ax+b$は共有点を持ち, その点におけるそれぞれの接線は直交している. このような条件を満たす$C_1$, $C_2$に関して, $C_1$, $C_2$で囲まれる領域の面積の最小値を求めよ.
(2024 一橋大学 [2])

それでは解いていきましょう.

$f(x)=x^2$, $g(x)=-x^2+ax+b$とおく. 条件を満たす$C_1$, $C_2$の共有点の$x$座標を$t$とすると,
$$
\begin{align}
f(t)=g(t) &\iff t^2=-t^2+at+b \\[1.5ex]
&\iff 2t^2-at-b=0\,\,\,・・・①
\end{align}
$$が成り立つ. また, その共有点における各曲線の接線の傾きは$f^\prime(t)=2t$, $g^\prime(t)=-2t+a$であり, これが直交するから,
$$
\begin{align}
f^\prime(t)\cdot g^\prime(t)=-1 & \iff 2t\cdot (-2t+a)=-1\\[1.5ex]
&\iff 4t^2-2at-1=0\,\,\,・・・②
\end{align}
$$となる. $a$,$b$に対して①, ②を同時に満たす$t$を求めればよい.

$2\times ①-②$より,
$$
-2b+1=0\iff b=\frac{1}{2}
$$となり, ①, ②を同時に満たす$t$が存在するためには$ \displaystyle b=\frac{1}{2}$が必要であることがわかる.

$\displaystyle b=\frac{1}{2}$であれば, ①を$t$の2次方程式と見て判別式$D$を計算すると,
$$
D=(-a)^2-4\cdot 2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=a^2+4>0
$$となり, ①は$a$の値に依らず2つの実数解を持つことがわかる. そしてまた, $\displaystyle b=\frac{1}{2}$であれば, ①と②が同一の方程式となるから, ①の方程式の解は同時に②の方程式の解となる.

以上から, $\displaystyle b\neq\frac{1}{2}$であれば, $C_1$, $C_2$は共有点を持ったとしても, その共有点で接線が直交することがないこと, そして, $\displaystyle b=\frac{1}{2}$であれば, $a$の値に依らず, $C_1$, $C_2$は2つの共有点を持ち, さらにその共有点における2つの接線は直交することがわかった.

以降, $\displaystyle b=\frac{1}{2}$とする.

①を解いて$C_1$, $C_2$の共有点の$x$座標を$a$を用いて表すと,
$$
\begin{align}
2t^2-at-\frac{1}{2}=0 &\iff 4t^2-2at-1=0 \\[1.5ex]
& \iff t=\frac{a\pm\sqrt{a^2+4}}{4}
\end{align}
$$となる. この解をそれぞれ$\displaystyle \alpha=\frac{a-\sqrt{a^2+4}}{4}$, $\displaystyle \beta=\frac{a +\sqrt{a^2+4}}{4}$とすると, これは$g(x)=f(x)$の解でもあるから,
$$
g(x)-f(x)=-x^2+ax+b-x^2=-2(x-\alpha)(x-\beta)
$$と表せる.

$C_1$, $C_2$の曲線の位置関係は以下のようになり,

これから, $C_1$, $C_2$で囲まれる領域の面積$S(a)$は,
$$
\begin{align}
S(a)&=\int_\alpha^\beta\left\{g(x)-f(x)\right\}\,dx\\[1.5ex]
&=-2\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)\,dx\\[1.5ex]
&=-2\cdot\left(-\frac{1}{6}\right)(\beta-\alpha)^3\\[1.5ex]
&=\frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt{a^2+4}}{2}\right)^3\\[1.5ex]
&=\frac{1}{24}(a^2+4)^{\frac{3}{2}}
\end{align}
$$となり, これが最小となるのは$a=0$のときである.その最小値$S(0)$は,
$$
S(0)=\frac{1}{24}\cdot 4^{\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}
$$と求まる.