【東北大学入試】2次関数と3次関数で囲まれる2つの領域の面積(2025)

2025年7月16日2025年8月1日

今回はこちらの問題を解いていきます.

正の定数$k$に対して, 2つの曲線$y=kx^2$と$y=x(x-2)^2$で囲まれる2つの領域の面積が等しくなるように$k$の値を定めよ.
(2025 東北文系[4])

「交点を求めてそれぞれ積分して面積を出す」という方針はすぐに立ちますが, 直接計算しようとするととても大変です. 短時間で, 計算ミスなく正確に解くためには, 以下の解答のような工夫が必要です.

グラフを描いてみるとこのようになります. $k$の値によって放物線の開き具合が変わり, 2つの領域の面積も変化します.

それでは解いていきましょう.

$f(x)=kx^2$, $g(x)=x(x-2)^2$とおき, 2つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の共有点を求める. この2式から$y$を消去して$x$の3次方程式を解くと,
$$
\begin{align}
&kx^2=x(x-2)^2\\[1.5ex]
\iff &x(x-2)^2-kx^2=0\\[1.5ex]
\iff &x\left(x^2-4x+4-kx\right)=0\\[1.5ex]
\iff & x=0\,\,\,または\,\,\,x^2-(k+4)x+4=0
\end{align}
$$ となる. ここで2次方程式$x^2-(k+4)x+4$はその判別式$D$とすると,
$$
D=(k+4)^2-4\cdot 4=k^2+16k
$$となり, $k>0$であることから$D>0$となる. つまり2次方程式は相異なる2つの実数解$x=\alpha, \beta$をもつ. 解と係数の関係から,
$$
\begin{align}
\alpha+\beta&=k+4\,\,(>0) \,\, ・・・①\\[1.5ex]
\alpha\beta&=4\,\,(>0) \,\, ・・・②
\end{align}
$$であるから, $\alpha$と$\beta$は共に正であり, $\alpha<\beta$としても一般性を失わない.

以上から, 2つの曲線は3点で交わり, その$x$座標は小さい方から$0$, $\alpha$, $\beta$である. グラフからこの2曲線が囲む2つの領域の面積$S_1$, $S_2$はそれぞれ,
$$
\begin{align}
S_1&=\int_0^\alpha\left\{g(x)-f(x)\right\}\,dx\\[1.5ex]
S_2&=\int_\alpha^\beta\left\{f(x)-g(x)\right\}\,dx
\end{align}
$$とかける. 問題の条件から$S_1=S_2$のとき,
$$
\begin{align}
S_1=S_2 &\iff \int_0^\alpha\left\{g(x)-f(x)\right\}\,dx = \int_\alpha^\beta\left\{f(x)-g(x)\right\}\,dx\\[1.5ex]
& \iff \int_0^\alpha\left\{g(x)-f(x)\right\}\,dx – \int_\alpha^\beta\left\{f(x)-g(x)\right\}\,dx=0\\[1.5ex]
& \iff \int_0^\alpha\left\{g(x)-f(x)\right\}\,dx + \int_\alpha^\beta\left\{g(x)-f(x)\right\}\,dx=0\\[1.5ex]
& \iff \int_0^\beta \left\{g(x)-f(x)\right\}\,dx=0
\end{align}
$$となるので, これを解いて$k$を求める.
$$
\begin{align}
\int_0^\beta \left\{g(x)-f(x)\right\}\,dx&=\int_0^\beta \left\{x(x-2)^2-kx^2\right\}\,dx\\[1.5ex]
&=\int_0^\beta \left\{x^2-(k+4)x+4\right\}\,dx\\[1.5ex]
&=\int_0^\beta x(x-\alpha)(x-\beta)\,dx\\[1.5ex]
&=\int_0^\beta \left\{x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\right\}\,dx\\[1.5ex]
&=\int_0^\beta \left\{x^3-(\alpha+\beta)x^2+\alpha\beta x\right\}\,dx\\[1.5ex]
&=\left[\frac{1}{4}x^4-\frac{\alpha+\beta}{3}x^3+\frac{\alpha\beta}{2}x^2\right]_0^\beta\\[1.5ex]
&=\frac{1}{4}\beta^4-\frac{\alpha+\beta}{3}\beta^3+\frac{\alpha\beta}{2}\beta^2=0
\end{align}
$$最後に得られた$\alpha$と$\beta$の方程式にて, 両辺を$\beta^3\neq 0$で割って計算を続ける.
$$
\begin{align}
&\frac{1}{4}\beta^4-\frac{\alpha+\beta}{3}\beta^3+\frac{\alpha\beta}{2}\beta^2=0\\[1.5ex]
\iff & \frac{1}{4}\beta-\frac{\alpha+\beta}{3}+\frac{\alpha}{2}=0\\[1.5ex]
\iff & 3\beta-4\left(\alpha+\beta\right)+6\alpha=0\\[1.5ex]
\iff & -\beta+2\alpha=0\\[1.5ex]
\iff & \beta=2\alpha
\end{align}
$$となる. ここで, ①の$\alpha\beta=4$に, 上の$\beta=2\alpha$を代入して,
$$
2\alpha^2=4 \iff \,\, \alpha^2=2
$$となり, $\alpha>0$であることから, $\alpha=\sqrt{2}$であることがわかる. また, これから$\beta=2\sqrt{2}$がわかり, ②の$\alpha+\beta=k+4$から,
$$
k=\alpha+\beta-4=3\sqrt{2}-4
$$として, $k$の値が決まる.