今回はこちらの問題を解いていきます.
以下の漸化式で与えられる数列\(\{a_n\}\)は\(a_1=1\), \(a_2=3\)で以下の漸化式を満たす.
$$
(n+1)a_{n+2}-(2n+3)a_{n+1}+(n+2)a_n=0\,\,(n=1,2,3,\cdots)
$$また, \(b_n=a_{n+1}-a_n\)により, 数列\(\{b_n\}\)を定める.
このとき, 以下の問いに答えよ.
(1) \(\displaystyle b_{n+1}=\frac{n+2}{n+1}b_n\)が成り立つことを示せ.
(2) \(\{a_n\}\)の一般項を求めよ.
(3) \(\displaystyle \sum_{n=1}^{225}=\frac{1}{a_n}\)を求めよ.
(2025 北海道大学文系[3])
隣接3項間の漸化式ということで, 難しそうに感じますが, 丁寧な誘導があるので是非とも解きたいところです.
それでは解いていきましょう.
(1) \(b_n\)の定義から
$$
a_{n+1}=b_n+a_n
$$であり, 同様に,
$$
a_{n+2}=b_{n+1}+a_{n+1} = b_{n+1}+b_n+a_n
$$となる. これを\(\{a_n\}\)の漸化式に代入すると,
$$
(n+1)(b_{n+1}+b_n+a_n)-(2n+3)(b_n+a_n)+(n+2)a_n=0
$$となり, これを展開すると\(a_n\)が消え, 以下の\(\{b_n\}\)の関係式が得られる.
$$
(n+1)b_{n+1}-(n+2)b_n=0
$$第2項を移項し, 両辺を\(n+1\)で割ることで, 示すべき漸化式が得られる.
$$
b_{n+1}=\frac{n+2}{n+1}b_n
$$
(2) (1)の漸化式を続けて用いることで\(b_n\)は以下のように計算ができる.
$$
\begin{align}
b_n&=\frac{n+1}{n}b_{n-1}\\[1.5ex]
&=\frac{n+1}{n}\frac{n}{n-1}b_{n-2}\\[1.5ex]
&=\frac{n+1}{n}\frac{n}{n-1}\frac{n-1}{n-2}b_{n-3}\\[1.5ex]
&\cdots\\[1.5ex]
&=\frac{n+1}{n}\frac{n}{n-1}\frac{n-1}{n-2}\cdots\frac{3}{2}b_1\\[1.5ex]
&=\frac{n+1}{\cancel{n}}\frac{\cancel{n}}{\cancel{n-1}}\frac{\cancel{n-1}}{\cancel{n-2}}\cdots\frac{\cancel{3}}{2}b_1\\[1.5ex]
&=\frac{n+1}{2}b_1
\end{align}
$$
ここで,
$$
b_1=a_2-a_1=3-1=2
$$より,
$$
b_n=\frac{n+1}{2}\cdot 2=n+1
$$
と求まる. \(b_n\)は\(a_n\)の階差数列になっていることから, \(n\geq 2\)のとき,
$$
\begin{align}
a_n&=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k=1+\sum_{k=1}^{n-1}(k+1)\\[1.5ex]
&=1+\sum_{k=1}^{n-1}(k+1)=1+\frac{n(n-1)}{2}+(n-1)\\[1.5ex]
&=1+\frac{n^2}{2}-\frac{n}{2}+n-1=\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}=\frac{n(n+1)}{2}
\end{align}
$$となる. これは\(n=1\)のときも成り立つので, 全ての自然数\(n\)に対して,
$$
a_n=\frac{n(n+1)}{2}
$$
であることがわかる.
(3) \(\displaystyle \frac{1}{a_n}\)は以下のように部分分数分解できる.
$$
\frac{1}{a_n}=\frac{2}{n(n+1)}=2\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)
$$ これから,
$$
\begin{align}
\sum_{n=1}^{225}\frac{1}{a_n}&=2\sum_{n=1}^{225}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\\[1.5ex]
&=2\left\{\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{225}-\frac{1}{226}\right)\right\}\\[1.5ex]
&=2\left\{\left(1-\cancel{\frac{1}{2}}\right)+\left(\cancel{\frac{1}{2}}-\cancel{\frac{1}{3}}\right)+\cdots +\left(\cancel{\frac{1}{225}}-\frac{1}{226}\right)\right\}\\[1.5ex]
&=2\left(1-\frac{1}{226}\right)=\frac{225}{113}
\end{align}
$$と求まる.
(1)は\(\{a_n\}\)の漸化式を\(b_n\)の漸化式に置き換えるという方針で考えれば, \(a_{n+2}\), \(a_{n+1}\)を消していこうという発想に行き着くと思います. 与えられている式が少ないこともあり, それ以外に解法が思いつきません.
(2)は(1)の漸化式から\(b_n\)が求まりそうであること, また\(\{b_n\}\)が\(\{a_n\}\)階差数列であるということに気づけば難しくないでしょう.
(3)は\(\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}\)の形をした分数の和を求める際は, 部分分数分解を行うという定石を知っていれば問題なく解けるはずです.
部分分数分解に関しては, 一般に以下の公式を覚えておくと便利です.
$$
\begin{align}
\frac{1}{x(x+a)}&=\frac{1}{a}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+a}\right) \,\, (a\neq 0),\\
\frac{1}{(x+a)(x+b)}&=\frac{1}{b-a}\left(\frac{1}{x+b}-\frac{1}{x+a}\right) \,\, (a\neq b)
\end{align}
$$今回の問題の部分分数分解は2番目の式で\(x=n\), \(a=0\), \(b=1\)としたものです.
youtubeでも解説しています.
