【京都大学入試】コイン投げでできる数が6で割り切れる確率を求める問題(2025)

2025年7月30日2025年8月1日

今回はこちらの問題を解いていきます.

正の整数$n$を考える. 1枚のコインを投げ, 表が出たら$1$、裏が出たら$2$と記録する. この試行を$n$回繰り返し, 記録した数字を出た順に左から並べて10進法で$n$桁の数$X$を作る. このとき, 数$X$ が 6で割り切れる確率を求めよ.
(2025 京都大学文系 [3])

それでは解いていきましょう.

$n$以下の正の整数$k$に対して, $k$回目に記録する数を$x_k$とし, $X_k$をコインを$k$回投げ終わった時点で記録されている数とする. つまり,
$$
X_k=x_1 {10}^{k-1}+{x_2}{10}^{k-2}+\cdots +x_{k-1}{10}^1 + x_k
$$である. このとき, $X=X_n$であることに注意する.

次に一般に, $0$以上の整数$l$に対して
$$
{10}^l \equiv 1 \pmod 3
$$となるので, $$
\begin{align}
X_k&=x_1 10^{k-1}+x_2 {10}^{k-2}+\cdots +x_{k-1} 10^1 + x_k\\[1.5ex]
& \equiv x_1+x_2+\cdots+x_{k-1}+x_k \pmod 3
\end{align}
$$となり, $X_k$を$3$で割った余りと, $X_k$の各桁を足したものを$3$で割った余りは一致する.

以下, $n\geq 2$とする.

$X_n(=X)$が$3$の倍数になるのは, 「$X_{n-1}$が$3$で割って$1$余り, かつ, $x_n=2$」の場合と,「$X_{n-1}$が$3$で割って$2$余り, かつ, $x_n=1$」のいずれかのときであるが, $X_n$が$6$の倍数にもなるのは, 前者のときに限る. つまり,
$$
「X_nが6で割り切れる」 \iff 「X_{n-1}が3で割って1余る」\,\,\,かつ\,\,\, 「x_n=2」
$$が成り立つ.

ここで, $X_k$が$3$で割って$0$余る確率を$p_k$, $1$余る確率を$q_k$, $2$余る確率を$r_k$とする. 「$X_{n-1}$が$3$で割って$1$余る」と「$x_n=2$」は独立なので, 求める確率は各々の確率をかけて,
$$
q_{n-1}\times\frac{1}{2}
$$となる. つまり, $q_{n-1}$を求めれば良い.

$p_k$, $q_k$, $r_k$に関して, $k=1,2,\cdots n-1$のとき, 以下の漸化式が成り立つ.
$$
\begin{align}
p_{k+1}&=\frac{1}{2}q_k+\frac{1}{2}r_k\\[1.5ex]
q_{k+1}&=\frac{1}{2}p_k+\frac{1}{2}r_k\\[1.5ex]
r_{k+1}&=\frac{1}{2}p_k+\frac{1}{2}q_k\\
\end{align}
$$ ここで, $p_k+r_k=1-q_k$であることに注意すると, 第2式は,
$$
q_{k+1}=\frac{1}{2}(p_k+r_k)=\frac{1}{2}(1-q_k)
$$とかける. これから,
$$
q_{k+1}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{2}\left(q_k-\frac{1}{3}\right)
$$となり, 数列$\displaystyle \left\{q_k-\frac{1}{3}\right\}$は初項$\displaystyle q_1-\frac{1}{3}$, 公比$\displaystyle -\frac{1}{2}$の等比数列になることがわかる. $X_1$が$3$で割って$1$余るのは, $x_1=1$となるときなので, $\displaystyle q_1=\frac{1}{2}$である. よって,
$$
\begin{align}
q_k-\frac{1}{3}&=\left(-\frac{1}{2}\right)^{k-1}\left(q_1-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{2}\right)^{k-1}\\[1.5ex]
\iff q_k&=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{2}\right)^{k-1}=\frac{1}{3}\left\{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^k\right\}
\end{align}
$$となる.

よって, $k=n-1$として,$$
q_{n-1}=\frac{1}{3}\left\{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right\}
$$となるから, $n\geq 2$のとき, 求める確率は,
$$
\frac{1}{2}q_{n-1}=\frac{1}{6}\left\{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right\}
$$となる.

また, $X_1$は$1$または$2$のいずれかであり, $X_1$が$6$で割り切れる確率は$0$である. よって, 上の式は$n=1$でも成り立つから, 求める確率は,
$$
\frac{1}{6}\left\{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right\}
$$となる.