【北海道大学入試】3次関数の極値と接線(2025)

(1) \(f(x)=x^3-6x^2-15x+30\)を微分すると,
$$
f^\prime(x)=3x^2-12x-15=3(x^2-4x-5)=3(x-5)(x+1)
$$となり, \(f^\prime(x)=0\)とおくと, \(x=-1, 5\)となる. ここで, \(f(-1)=38\), \(f(5)=-70\)に注意して, 増減表を書くと,
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & \cdots & -1 &\cdots & 5 & \cdots \\[1.5ex]
\hline
f'(x) & + & 0 & – & 0 & + \\[1.5ex]
\hline
f(x) & \nearrow & 38 & \searrow & -70 & \nearrow \\[1.5ex]
\hline
\end{array}
$$となる.

よってグラフは以下のようになり, \(f(x)\)は\(x=-1\)で極大値\(28\)を, \(x=5\)で極小値\(-20\)をとることがわかる.

(2) 任意の実数\(a\)に対して, \(C\)の\(x=a\)における接線の方程式を求めると, これは傾きが\(f^\prime(a)\)で\((a, f(a))\)を通ることから,
$$
\begin{align}
y&=f^\prime(a)(x-a)+f(a)\\[1.5ex]
&=(3a^2-12a-15)(x-a)+a^3-6a^2-15a+30\\[1.5ex]
&=(3a^2-12a-15)x-2a^3+6a^2+30
\end{align}
$$となる. これが\((-3, -6)\)を通るから,
$$
\begin{align}
&-6=(3a^2-12a-15)\cdot(-3)-2a^3+6a^2+30\\[1.5ex]
&\iff 2a^3+3a^2-36a-81=0
\end{align}
$$として\(a\)の3次方程式が得られる. \(a=-3\)はこの方程式の1つの解であり, 左辺は\((a+3)\)を因子に持つことがわかる. これから方程式を変形すると,
$$
\begin{align}
&2a^3+3a^2-36a-81=0\\[1.5ex]
&\iff (a+3)(2a^2-3a-27)=0\\[1.5ex]
&\iff (a+3)^2(2a-9)=0
\end{align}
$$となり, この方程式の解は,
$$
\begin{align}
a&=-3\,\,(重解)\\[1.5ex]
a&=\frac{9}{2}
\end{align}$$であることがわかる. これから求める接線は, \(a=-3\)のとき,
$$
\begin{align}
y&=\left(3\cdot(-3)^2-12\cdot(-3)-15\right)x-2\cdot(-3)^3+6\cdot(-3)^2+30\\[1.5ex]
&=48x+138
\end{align}
$$であり, \( \displaystyle a=\frac{9}{2}\)のとき,
$$
\begin{align}
y&=\left(3\cdot\left(\frac{9}{2}\right)^2-12\cdot\left(\frac{9}{2}\right)-15\right)x-2\cdot\left(\frac{9}{2}\right)^3+6\cdot\left(\frac{9}{2}\right)^2+30\\[1.5ex]
&=-\frac{33}{4}x-\frac{123}{4}
\end{align}$$
となる.