{"id":741,"date":"2025-07-10T19:15:21","date_gmt":"2025-07-10T10:15:21","guid":{"rendered":"https:\/\/math-friend.com\/?p=741"},"modified":"2025-08-01T09:37:37","modified_gmt":"2025-08-01T00:37:37","slug":"%e3%80%90%e4%ba%ac%e9%83%bd%e5%a4%a7%e5%ad%a6%e5%85%a5%e8%a9%a6%e3%80%91%e8%a4%87%e7%b4%a0%e6%95%b0%e3%81%ae%e7%b5%b6%e5%af%be%e5%80%a4%e3%81%ae%e6%9c%80%e5%a4%a7%e6%9c%80%e5%b0%8f%e5%95%8f%e9%a1%8c","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/math-friend.com\/?p=741","title":{"rendered":"\u3010\u4eac\u90fd\u5927\u5b66\u5165\u8a66\u3011\u8907\u7d20\u6570\u306e\u7d76\u5bfe\u5024\u306e\u6700\u5927\u6700\u5c0f\u554f\u984c\u3068\u5c11\u3057\u5de5\u592b\u306e\u3044\u308b\u5b9a\u7a4d\u5206(2025)"},"content":{"rendered":"\n

\u4eca\u56de\u306f\u3053\u3061\u3089\u306e\u554f\u984c\u3092\u89e3\u3044\u3066\u3044\u304d\u307e\u3059.<\/p>\n\n\n\n

\u554f1. \u8907\u7d20\u6570\\(z\\)\u304c\\(|z|=2\\)\u3092\u6e80\u305f\u3059\u8907\u7d20\u6570\u5168\u4f53\u3092\u52d5\u304f\u3068\u304d, \\(\\left|z-\\frac{i}{z}\\right|\\)\u306e\u6700\u5927\u5024\u3068\u6700\u5c0f\u5024\u3092\u6c42\u3081\u3088.

\u554f2. \u4ee5\u4e0b\u306e\u5b9a\u7a4d\u5206\u306e\u5024\u3092\u6c42\u3081\u3088.

(1) \\(\\displaystyle \\int_0^{\\sqrt{3}}\\frac{x\\sqrt{x^2+1}+2x^3+1}{x^2+1}dx\\)

(2) \\(\\displaystyle\\int_0^{\\frac{\\pi}{2}}\\sqrt{\\frac{1-\\cos{x}}{1+\\cos{x}}}dx\\)

(2025 \u4eac\u90fd\u5927\u5b66\u7406\u7cfb[1])<\/span><\/p>\n\n\n\n

\u3053\u3061\u3089\u306f\u4eac\u90fd\u5927\u5b66\u306e\u7406\u7cfb\u306e\u5165\u8a66\u554f\u984c\u3067\u3059\u304c, \u5c0f\u554f\u96c6\u3068\u3044\u3046\u3053\u3068\u3067\u96e3\u6613\u5ea6\u306f\u305d\u308c\u307b\u3069\u9ad8\u304f\u3042\u308a\u307e\u305b\u3093. \u6700\u5f8c\u306b\u5225\u89e3\u3082\u7d39\u4ecb\u3057\u307e\u3059.

\u305d\u308c\u3067\u306f\u89e3\u3044\u3066\u3044\u304d\u307e\u3057\u3087\u3046.<\/p>\n\n\n\n

\n

\u554f1
\\(z\\)\u306e\u7d76\u5bfe\u5024\u306f\\(2\\)\u306a\u306e\u3067, \u6975\u5f62\u5f0f\u3067\u8868\u3059\u3068\\(z=2\\left(\\cos{\\theta}+i\\sin{\\theta}\\right)\\)\u3068\u306a\u308a, \\(\\theta\\)\u306f\\(0\\leq \\theta< 2\\pi\\)\u306e\u7bc4\u56f2\u3092\u52d5\u304f\u3068\u8003\u3048\u3066\u826f\u3044. \u3053\u306e\u3068\u304d, \u30c9\u30fb\u30e2\u30a2\u30d6\u30eb\u306e\u5b9a\u7406\u304b\u3089,
$$
\\begin{align}
\\frac{1}{z}&=z^{-1}=\\left\\{2\\left(\\cos{\\theta}+i\\sin{\\theta}\\right)\\right\\}^{-1}\\\\[1.5ex]
&=\\frac{1}{2}\\left(\\cos{(-\\theta)}+i\\sin{(-\\theta)}\\right)\\\\[1.5ex]
&=\\frac{1}{2}\\left(\\cos{\\theta}-i\\sin{\\theta}\\right)
\\end{align}
$$\u3068\u306a\u308b. \u3088\u3063\u3066,
$$
\\begin{align}
\\left|z-\\frac{i}{z}\\right|&=\\left|2\\left(\\cos{\\theta}+i\\sin{\\theta}\\right)-i\\cdot\\frac{1}{2}\\left(\\cos{\\theta}-i\\sin{\\theta}\\right)\\right|\\\\[1.5ex]
&=\\left|\\left(2\\cos{\\theta}-\\frac{1}{2}\\sin{\\theta}\\right)+i\\left(2\\sin{\\theta}-\\frac{1}{2}\\cos{\\theta}\\right)\\right|\\\\[1.5ex]
&=\\sqrt{\\left(2\\cos{\\theta}-\\frac{1}{2}\\sin{\\theta}\\right)^2+\\left(2\\sin{\\theta}-\\frac{1}{2}\\cos{\\theta}\\right)^2}\\\\[1.5ex]
&=\\sqrt{4\\cos^2{\\theta}-2\\cos{\\theta}\\sin{\\theta}+\\frac{1}{4}\\sin^2{\\theta}+4\\sin^2{\\theta}-2\\sin{\\theta}\\cos{\\theta}+\\frac{1}{4}\\cos^2{\\theta}}\\\\[1.5ex]
&=\\sqrt{4-4\\cos{\\theta}\\sin{\\theta}+\\frac{1}{4}}\\\\[1.5ex]
&=\\sqrt{\\frac{17}{4}-2\\cdot 2\\cos{\\theta}\\sin{\\theta}}\\\\[1.5ex]
&=\\sqrt{\\frac{17}{4}-2\\sin{2\\theta}}\\\\
\\end{align}
$$\u3068\u306a\u308b(\u9014\u4e2d\u306e\u5f0f\u5909\u5f62\u3067\u306f, \\(\\sin^2{\\theta}+\\cos^2{\\theta}=1\\)\u3068, \\(\\sin\\)\u306e\u500d\u89d2\u306e\u516c\u5f0f \\(\\sin{2\\theta}=2\\sin{\\theta}\\cos{\\theta}\\)\u3092\u7528\u3044\u305f).

\\(0\\leq \\theta < 2\\pi\\)\u306e\u3068\u304d, \\(0\\leq 2\\theta < 4\\pi\\)\u3067\u3042\u308a, \\(\\sin{2\\theta}\\)\u306f\\(-1\\leq \\sin{2\\theta}\\leq 1\\)\u3067\u3042\u308b\u304b\u3089, \\(\\sin{2\\theta}=-1\\), \u3064\u307e\u308a\\(\\theta=\\frac{3\\pi}{4}, \\frac{7\\pi}{4}\\)\u306e\u3068\u304d, \u6700\u5927\u5024
$$
\\sqrt{\\frac{17}{4}+2}=\\sqrt{\\frac{25}{4}}=\\frac{5}{2}
$$\u3092\u3068\u308a, \\(\\sin{2\\theta}=1\\), \u3064\u307e\u308a\\(\\theta=\\frac{\\pi}{4}, \\frac{5\\pi}{4}\\)\u306e\u3068\u304d, \u6700\u5c0f\u5024
$$
\\sqrt{\\frac{17}{4}-2}=\\sqrt{\\frac{9}{4}}=\\frac{3}{2}
$$
\u3092\u3068\u308b\u3053\u3068\u304c\u308f\u304b\u308b.<\/p>\n\n\n\n

\u554f2 (1)
\u88ab\u7a4d\u5206\u95a2\u6570\u3092\u5206\u5b50\u306e\u9805\u3054\u3068\u306b\u5206\u89e3\u3059\u308b\u3068,
$$
\\begin{align}
\\int_0^{\\sqrt{3}}\\frac{x\\sqrt{x^2+1}+2x^3+1}{x^2+1}dx &=\\int_0^{\\sqrt{3}}\\frac{x\\sqrt{x^2+1}}{x^2+1}dx\\\\[1.5ex]
&+\\int_0^{\\sqrt{3}}\\frac{2x^3}{x^2+1}dx+\\int_0^{\\sqrt{3}}\\frac{1}{x^2+1}dx
\\end{align}
$$
\u3068\u306a\u308b. \u3053\u3053\u30672\u756a\u76ee\u306e\u7a4d\u5206\u306f\u5206\u5b50\u306e\u6b21\u6570\u304c\u5206\u6bcd\u306e\u6b21\u6570\u4ee5\u4e0a\u306b\u306a\u3063\u3066\u3044\u308b\u306e\u3067\u5272\u308a\u7b97\u3092\u3057\u3066\u6b21\u6570\u3092\u4e0b\u3052\u308b.
$$
\\frac{2x^3}{x^2+1}=\\frac{2x(x^2+1)-2x}{x^2+1}=2x-\\frac{2x}{x^2+1}
$$
\u3053\u306e\u7d50\u679c\u3092\u7528\u3044\u30662\u756a\u76ee\u306e\u7a4d\u5206\u306e\u88ab\u7a4d\u5206\u95a2\u6570\u3092\u5909\u5f62\u3059\u308b\u3068, \u6c42\u3081\u305f\u3044\u7a4d\u5206\u306f\u4ee5\u4e0b\u306e4\u3064\u306e\u7a4d\u5206\u306b\u5206\u89e3\u3055\u308c\u308b.
$$
\\begin{align}
\\int_0^{\\sqrt{3}}\\frac{x\\sqrt{x^2+1}+2x^3+1}{x^2+1}dx &=\\int_0^{\\sqrt{3}}\\frac{x\\sqrt{x^2+1}}{x^2+1}dx\\\\[1.5ex]
&+\\int_0^{\\sqrt{3}}{2x}dx-\\int_0^{\\sqrt{3}}\\frac{2x}{x^2+1}dx+\\int_0^{\\sqrt{3}}\\frac{1}{x^2+1}dx
\\end{align}
$$
\u3053\u308c\u30921\u3064\u305a\u3064\u8a08\u7b97\u3057\u3066\u3044\u304f.

\u2460 1\u756a\u76ee\u306e\u7a4d\u5206
\u5206\u6bcd\u5206\u5b50\u3092\\(\\sqrt{x^2+1}\\)\u3067\u5272\u308b\u3068, \u4ee5\u4e0b\u306e\u5f62\u306b\u306a\u308b.
$$
\\int_0^{\\sqrt{3}}\\frac{x\\sqrt{x^2+1}}{x^2+1}dx=\\int_0^{\\sqrt{3}}\\frac{x}{\\sqrt{x^2+1}}dx
$$ \\(t=x^2+1\\)\u3068\u304a\u304f\u3068, \u7a4d\u5206\u7bc4\u56f2\u306f,
$$
\\begin{array}{c|ccc}
x & 0 & \\rightarrow & \\sqrt{3} \\\\
\\hline
t & 1 & \\rightarrow & 4 \\\\
\\end{array}
$$\u3068\u306a\u308a, \\(dt=2xdx\\)\u3088\u308a, \\(xdx=\\frac{1}{2}dt\\)\u3068\u306a\u308b\u306e\u3067, \u7f6e\u63db\u7a4d\u5206\u3092\u5b9f\u884c\u3057\u3066,
$$
\\begin{align}
\\int_0^{\\sqrt{3}}\\frac{x}{\\sqrt{x^2+1}}dx&=\\frac{1}{2}\\int_1^3\\frac{1}{\\sqrt{t}}dt\\\\
&=\\frac{1}{2}\\left[2\\sqrt{t}\\right]_1^3=\\sqrt{4}-\\sqrt{1}=1
\\end{align}
$$\u3068\u306a\u308b.

\u2461 2\u756a\u76ee\u306e\u7a4d\u5206
$$
\\int_0^{\\sqrt{3}}2xdx=\\left[x^2\\right]_0^\\sqrt{3}=3
$$

\u2462 3\u756a\u76ee\u306e\u7a4d\u5206
\u5206\u5b50\u304c\u5206\u6bcd\u3092\u5fae\u5206\u3057\u305f\u5f62\u306b\u306a\u3063\u3066\u3044\u308b\u306e\u3067, \u4ee5\u4e0b\u306e\u3088\u3046\u306b\u8a08\u7b97\u304c\u3067\u304d\u308b(\u6163\u308c\u3066\u3044\u306a\u3044\u65b9\u306f, \\(t=x^2+1\\)\u3068\u7f6e\u63db\u3057\u3066\u7f6e\u63db\u7a4d\u5206\u3067\u8a08\u7b97\u3057\u3066\u3082\u826f\u3044).
$$
\\begin{align}
\\int_0^{\\sqrt{3}}\\frac{2x}{x^2+1}dx&=\\int_0^{\\sqrt{3}}\\frac{\\left(x^2+1\\right)^{\\prime}}{x^2+1}dx\\\\[1.5ex]
&=\\left[\\log{|x^2+1|}\\right]_0^\\sqrt{3}=\\log{4}-\\log{1}=2\\log{2}
\\end{align}
$$

\u2463 4\u756a\u76ee\u306e\u7a4d\u5206
\\(x=\\tan{\\theta}\\)\u3068\u304a\u304f\u3068, \u7a4d\u5206\u7bc4\u56f2\u306f,
$$
\\begin{array}{c|ccc}
x & 0 & \\rightarrow & \\sqrt{3} \\\\
\\hline
\\theta & 0 & \\rightarrow & \\frac{\\pi}{3} \\\\
\\end{array}
$$\u3068\u306a\u308a, \\(dx=\\frac{1}{\\cos^2{\\theta}}d\\theta\\)\u3088\u308a, \u7f6e\u63db\u7a4d\u5206\u3092\u5b9f\u884c\u3057\u3066,
$$
\\begin{align}
\\int_0^{\\sqrt{3}}\\frac{1}{x^2+1}dx&=\\int_0^{\\frac{\\pi}{3}}\\frac{1}{\\tan^2{\\theta}+1}\\frac{1}{\\cos^2{\\theta}}d\\theta\\\\[1.5ex]
&=\\int_0^{\\frac{\\pi}{3}}d\\theta=\\frac{\\pi}{3}
\\end{align}
$$\u3068\u306a\u308b(\\((\\tan^2{\\theta}+1)\\cdot\\cos^2{\\theta}=1\\)\u306b\u6ce8\u610f).

\u2460\u304b\u3089\u2463\u3088\u308a\u6c42\u3081\u308b\u3079\u304d\u7a4d\u5206\u306e\u5024\u306f,
$$
\\begin{align}
\\int_0^{\\sqrt{3}}\\frac{x\\sqrt{x^2+1}+2x^3+1}{x^2+1}dx &=1+3-2\\log{2}+\\frac{\\pi}{3}=4-2\\log{2}+\\frac{\\pi}{3}
\\end{align}
$$\u3068\u6c42\u307e\u308b.

\u554f2 (2)
\u4ee5\u4e0b\u306e\u534a\u89d2\u306e\u516c\u5f0f\u304b\u3089,
$$
\\begin{align}
\\cos^2{\\frac{x}{2}}&=\\frac{1+\\cos{x}}{2}\\\\[1.5ex]
\\sin^2{\\frac{x}{2}}&=\\frac{1-\\cos{x}}{2}
\\end{align}
$$\\(1+\\cos{x}\\), \\(1-\\cos{x}\\)\u306f\u4ee5\u4e0b\u306e\u3088\u3046\u306b\u5909\u5f62\u3067\u304d\u308b.
$$
\\begin{align}
1+\\cos{x}&=2\\cos^2{\\frac{x}{2}}\\\\[1.5ex]
1-\\cos{x}&=2\\sin^2{\\frac{x}{2}}\\\\
\\end{align}
$$
\u4eca\u8003\u3048\u3066\u3044\u308b\u7a4d\u5206\u7bc4\u56f2\\(0\\leq x\\leq\\frac{\\pi}{2}\\)\u3067\u306f, \\(\\sin{\\frac{x}{2}}\\geq 0\\), \\(\\cos{\\frac{x}{2}}\\geq 0\\)\u3067\u3042\u308b\u304b\u3089, \\(\\sqrt{\\sin^2{\\frac{x}{2}}}=\\sin{\\frac{x}{2}}\\), \\(\\sqrt{\\cos^2{\\frac{x}{2}}}=\\cos{\\frac{x}{2}}\\)\u3068\u306a\u308b\u3053\u3068\u306b\u6ce8\u610f\u3057\u3066, \u88ab\u7a4d\u5206\u95a2\u6570\u3092\u5909\u5f62\u3057\u3066\u3044\u304f\u3068,
$$
\\begin{align}
\\int_0^{\\frac{\\pi}{2}} \\sqrt{\\frac{1 – \\cos{x}}{1 + \\cos{x}}} dx&= \\int_0^{\\frac{\\pi}{2}} \\sqrt{\\frac{2\\sin^2{\\frac{x}{2}}}{2\\cos^2{\\frac{x}{2}}}} dx\\\\[1.5ex]
&= \\int_0^{\\frac{\\pi}{2}} \\sqrt{\\frac{\\sin^2{\\frac{x}{2}}}{\\cos^2{\\frac{x}{2}}}} dx = \\int_0^{\\frac{\\pi}{2}} \\frac{\\sin{\\frac{x}{2}}}{\\cos{\\frac{x}{2}}} dx
\\end{align}
$$ \u3068\u306a\u308a\u307e\u3059. \u3053\u3053\u3067,
$$
\\left(\\cos{\\frac{x}{2}}\\right)^{\\prime}=-\\frac{1}{2}\\sin{\\frac{x}{2}}
$$\u3088\u308a,
$$
\\sin{\\frac{x}{2}}=-2\\left(\\cos{\\frac{x}{2}}\\right)^{\\prime}
$$\u3067\u3042\u308b\u306e\u3067, \u7a4d\u5206\u306e\u8a08\u7b97\u3092\u7d9a\u3051\u308b\u3068,
$$
\\begin{align}
\\int_0^{\\frac{\\pi}{2}} \\sqrt{\\frac{1 – \\cos{x}}{1 + \\cos{x}}} dx&=\\int_0^{\\frac{\\pi}{2}} \\frac{\\sin{\\frac{x}{2}}}{\\cos{\\frac{x}{2}}} dx\\\\[1.5ex]
&=-2\\int_0^{\\frac{\\pi}{2}} \\frac{\\left(\\cos{\\frac{x}{2}}\\right)^{\\prime}}{\\cos{\\frac{x}{2}}} dx\\\\[1.5ex]
&=-2\\left[\\log{\\left|\\cos{\\frac{x}{2}}\\right|}\\right]_0^{\\frac{\\pi}{2}}\\\\[1.5ex]
&=-2\\left(\\log{\\frac{1}{\\sqrt{2}}}-\\log{1}\\right)=\\log{2}
\\end{align}
$$\u3068\u306a\u308b.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n

\u3044\u304f\u3064\u304b\u6ce8\u610f\u70b9\u3067\u3059. \u3053\u306e\u89e3\u7b54\u3067\u3082\u4f55\u5ea6\u304b\u4f7f\u3063\u3066\u3044\u307e\u3059\u304c, \u5206\u5b50\u304c\u5206\u6bcd\u3092\u5fae\u5206\u3057\u305f\u5f62\u306b\u306a\u3063\u3066\u3044\u308b\u5206\u6570\u306e\u95a2\u6570\u3092\u7a4d\u5206\u3059\u308b\u3068\\(\\log{(\u5206\u6bcd)}\\)\u306b\u306a\u308a\u307e\u3059. \u3053\u308c\u304c\u4f7f\u3048\u308b\u3068\u4f59\u8a08\u306a\u7f6e\u63db\u64cd\u4f5c\u304c\u6e1b\u308b\u306e\u3067\u662f\u975e\u4f7f\u3044\u3053\u306a\u3057\u305f\u3044\u3068\u3053\u308d\u3067\u3059.
$$
\\int\\frac{\\left(f(x)\\right)^\\prime}{f(x)}dx=\\log{f(x)}+C
$$

\u307e\u305f, \\(\\frac{1}{\\sqrt{t}}\\)\u306e\u7a4d\u5206\u306f, \\(\\frac{1}{\\sqrt{t}}=t^{-\\frac{1}{2}}\\)\u3088\u308a,
$$
\\int{x^{\\alpha}}dx=\\frac{x^{\\alpha + 1}}{\\alpha + 1}+C
$$
\u3092\u7528\u3044\u3066,
$$
\\int{t^{-\\frac{1}{2}}}dt=\\frac{t^{-\\frac{1}{2} + 1}}{-\\frac{1}{2}+ 1}+C=2t^{-\\frac{1}{2}}+C
$$\u3088\u308a\u6c42\u307e\u308a\u307e\u3059.

\u6700\u5f8c\u306b\u554f1\u306e\u5225\u89e3\u30922\u3064, \u554f2(2)\u306e\u5225\u89e3\u30921\u3064\u7d39\u4ecb\u3057\u307e\u3059.<\/p>\n\n\n\n

\u554f1(\u5225\u89e31)
\\(|z|=2\\)\u3088\u308a,
$$
\\left|z-\\frac{1}{z}\\right|=\\left|\\frac{z^2-i}{z}\\right|=\\frac{\\left|z^2-i\\right|}{\\left|z\\right|}=\\frac{1}{2}\\left|z^2-i\\right|
$$\u3068\u306a\u308b.

\u3053\u3053\u3067\\(z=2(\\cos{\\theta}+i\\sin{\\theta}\\)\u3068\u3059\u308b\u3068, \u30c9\u30fb\u30e2\u30a2\u30d6\u30eb\u306e\u5b9a\u7406\u304b\u3089, \\(z^2=4(\\cos{2\\theta}+i\\sin{2\\theta})\\)\u306a\u306e\u3067, \u7d9a\u304d\u3092\u8a08\u7b97\u3059\u308b\u3068,
$$
\\begin{align}
\\frac{1}{2}\\left|z^2-i\\right|&=\\frac{1}{2}\\left|4\\cos{2\\theta}+i\\left(4\\sin{2\\theta}-1\\right)\\right|\\\\[1.5ex]
&=\\frac{1}{2}\\sqrt{\\left(4\\cos{2\\theta}\\right)^2+\\left(4\\sin{2\\theta}-1\\right)^2}\\\\[1.5ex]
&=\\frac{1}{2}\\sqrt{16\\cos^2{2\\theta}+16\\sin^2{2\\theta}-8\\sin{2\\theta}+1}\\\\[1.5ex]
&=\\frac{1}{2}\\sqrt{17-8\\sin{2\\theta}}\\\\
\\end{align}
$$\u3068\u306a\u308a\u307e\u3059.

\\(0\\leq \\theta < 2\\pi\\)\u306e\u3068\u304d, \\(0\\leq 2\\theta < 4\\pi\\)\u3067\u3042\u308a, \\(\\sin{2\\theta}\\)\u306f\\(-1\\leq \\sin{2\\theta}\\leq 1\\)\u3067\u3042\u308b\u304b\u3089, \\(\\sin{2\\theta}=-1\\), \u3064\u307e\u308a\\(\\theta=\\frac{3\\pi}{4}, \\frac{7\\pi}{4}\\)\u306e\u3068\u304d, \u6700\u5927\u5024
$$
\\frac{1}{2}\\sqrt{17+8}=\\frac{5}{2}
$$\u3092\u3068\u308a, \\(\\sin{2\\theta}=1\\), \u3064\u307e\u308a\\(\\theta=\\frac{\\pi}{4}, \\frac{5\\pi}{4}\\)\u306e\u3068\u304d, \u6700\u5c0f\u5024
$$
\\frac{1}{2}\\sqrt{17-8}=\\frac{3}{2}
$$
\u3092\u3068\u308b\u3053\u3068\u304c\u308f\u304b\u308b.<\/p>\n\n\n\n

\u554f1(\u5225\u89e32)
\\(|z|=2\\)\u3088\u308a,
$$
\\left|z-\\frac{1}{z}\\right|=\\left|\\frac{z^2-i}{z}\\right|=\\frac{\\left|z^2-i\\right|}{\\left|z\\right|}=\\frac{1}{2}\\left|z^2-i\\right|
$$\u3068\u306a\u308b.

\u3053\u3053\u3067, \\(\\left|z^2-i\\right|\\)\u306f\u8907\u7d20\u6570\u5e73\u9762\u4e0a\u3067\\(z^2\\)\u3068\\(i\\)\u306e\u8ddd\u96e2\u3067\u3042\u308b. \u3053\u3053\u3067\\(z=2(\\cos{\\theta}+i\\sin{\\theta}\\)\u3068\u3059\u308b\u3068, \u30c9\u30fb\u30e2\u30a2\u30d6\u30eb\u306e\u5b9a\u7406\u304b\u3089, \\(z^2=4(\\cos{2\\theta}+i\\sin{2\\theta})\\)\u3068\u306a\u308a, \\(\\left|z^2\\right|\\)\u306f\u8907\u7d20\u6570\u5e73\u9762\u4e0a\u3067\u539f\u70b9(\\0\\)\u3092\u4e2d\u5fc3\u3068\u3059\u308b\u534a\u5f84\\(4\\)\u306e\u5186\u5468\u4e0a\u3092(\u304f\u307e\u306a\u304f)\u52d5\u304f.

2\u3064\u306e\u5186\u304c\u5185\u63a5\u3059\u308b\u3068\u304d, \u305d\u306e\u63a5\u70b9\u30682\u3064\u306e\u4e2d\u5fc3\u304c1\u76f4\u7dda\u4e0a\u306b\u306a\u308b\u3053\u3068\u3092\u8003\u616e\u3059\u308c\u3070, \u70b9\\(i\\)\u3068\u5186\u5468\u4e0a\u306e\u70b9\u306e\u8ddd\u96e2\u306e\u6700\u5c0f\u5024, \u6700\u5927\u5024\u306f\u305d\u308c\u305e\u308c\\(3\\), \\(5\\)\u3068\u306a\u308b.

\"\"

\u3088\u3063\u3066, \u3053\u308c\u3092\\(\\frac{1}{2}\\)\u500d\u3057\u305f\\(\\frac{3}{2}\\), \\(\\frac{5}{2}\\)\u304c\u305d\u308c\u305e\u308c\u6700\u5c0f\u5024, \u6700\u5927\u5024\u3068\u306a\u308b.<\/p>\n\n\n\n

\u3053\u306e\u554f1(\u5225\u89e32)\u306e\u3088\u3046\u306b\u56f3\u5f62\u7684\u306a\u610f\u5473\u3082\u8003\u3048\u306a\u304c\u3089\u554f\u984c\u3092\u89e3\u304f\u3068\u4eca\u5f8c\u89e3\u3051\u308b\u554f\u984c\u306e\u5e45\u304c\u5e83\u304c\u308b\u3067\u3057\u3087\u3046.

\u6700\u5f8c\u306b\u554f2(2)\u306e\u5225\u89e3\u3067\u3059. \u3053\u308c\u306f\u4e0a\u306e\u89e3\u7b54\u3067\u3042\u3063\u305f\u534a\u89d2\u306e\u516c\u5f0f\u3092\u4f7f\u3063\u305f\u5909\u63db\u304c\u601d\u3044\u3064\u304b\u306a\u3044\u65b9\u5411\u3051\u306e\u89e3\u7b54\u3067\u3059.<\/p>\n\n\n\n

\u554f2(2)(\u5225\u89e3)

$$
\\int_0^{\\frac{\\pi}{2}}\\sqrt{\\frac{1-\\cos{x}}{1+\\cos{x}}}dx
$$
\u306b\u3066, \\(t=\\cos{x}\\)\u3068\u304a\u304f\u3068, \u7a4d\u5206\u7bc4\u56f2\u306f,
$$
\\begin{array}{c|ccc}
x & 0 & \\rightarrow & \\frac{\\pi}{2} \\\\
\\hline
t & 1 & \\rightarrow & 0 \\\\
\\end{array}
$$\u3068\u306a\u308b. \u307e\u305f, \\(dt=-\\sin{x}dx\\)\u3067\u3042\u308b\u304c, \u4eca\u8003\u3048\u3066\u3044\u308b\u7a4d\u5206\u7bc4\u56f2\\(0\\leq x\\leq \\frac{\\pi}{2}\\)\u3067\u306f, \\(\\sin{x}\\geq 0\\)\u3088\u308a,
$$
\\sin{x}=\\sqrt{1-\\cos^2{x}}
$$
\u3067\u3042\u308b, \u3053\u3053\u3067, \\(\\cos{x}=t\\)\u3088\u308a,
$$
dt=-\\sin{x}dx=-\\sqrt{1-\\cos^2{x}}dx=-\\sqrt{1-t^2}dx
$$\u3067\u3042\u308b\u304b\u3089,
$$
dx=-\\frac{1}{\\sqrt{1-t^2}}dt
$$\u3068\u306a\u308a, \\(dx\\)\u3092\\(dt\\)\u306b\u5909\u63db\u3067\u304d\u308b.

\u4ee5\u4e0a\u304b\u3089, \u7f6e\u63db\u7a4d\u5206\u3092\u884c\u3046\u3068,
$$
\\begin{align}
\\int_0^{\\frac{\\pi}{2}}\\sqrt{\\frac{1-\\cos{x}}{1+\\cos{x}}}dx&=\\int_1^0\\sqrt{\\frac{1-t}{1+t}}\\left(-\\frac{1}{\\sqrt{1-t^2}}\\right)dt\\\\[1.5ex]
&=\\int_0^1\\frac{\\sqrt{1-t}}{\\sqrt{{1+t}}}\\frac{1}{\\sqrt{1-t}\\sqrt{1+t}}dt\\\\[1.5ex]
&=\\int_0^1\\frac{1}{1+t}dt\\\\
\\end{align}
$$\u3067\u3042\u308b(\u9014\u4e2d\u3067, \\(-(\u30de\u30a4\u30ca\u30b9)\\)\u3092\u4f7f\u3063\u3066\u7a4d\u5206\u533a\u9593\u306e\u4e0a\u7aef\u3068\u4e0b\u7aef\u3092\u4ea4\u63db\u3057\u3066\u3044\u308b)\u3053\u3068\u306b\u6ce8\u610f.

\u3053\u306e\u7a4d\u5206\u306f\u5206\u5b50\u304c\u5206\u6bcd\u3092\u5fae\u5206\u3057\u305f\u5f62\u306b\u306a\u3063\u3066\u3044\u308b\u306e\u3067,

$$
\\int_0^1\\frac{1}{1+t}dt=\\left[\\log{1+t}\\right]_0^1=\\log{2}
$$\u3068\u306a\u308b.<\/p>\n\n\n\n

youtube\u3067\u3082\u89e3\u8aac\u3057\u3066\u3044\u307e\u3059.<\/p>\n\n\n\n