\u4eca\u56de\u306f\u3053\u3061\u3089\u306e\u554f\u984c\u3092\u89e3\u3044\u3066\u3044\u304d\u307e\u3059.<\/p>\n\n\n\n
\u81ea\u7136\u6570\\(n\\)\u306b\u5bfe\u3057, \\(n\\)\u306e\u6b63\u306e\u7d04\u6570\u306e\u500b\u6570\u3092\\(d(n)\\)\u3068\u3057, \u3053\u306e\u554f\u984c\u306b\u51fa\u3066\u304f\u308b\\(d(n)\\)\u306f\u5927\u5b66\u6570\u5b66\u306e\u4e16\u754c\u3067\u306f\u4e57\u6cd5\u7684\u95a2\u6570\u306e\u4e00\u4f8b\u3068\u3057\u3066\u5b66\u3073\u307e\u3059. \u4e57\u6cd5\u7684\u95a2\u6570\u3068\u306f\u6b63\u306e\u6574\u6570\u3092\u5b9a\u7fa9\u57df\u3068\u3059\u308b\u95a2\u6570\u3067, \\(a\\), \\(b\\)\u304c\u4e92\u3044\u306b\u7d20\u3067\u3042\u308b\u3068\u304d, \\(f(ab)=f(a)f(b)\\)\u304c\u6210\u308a\u7acb\u3064\u95a2\u6570\u306e\u3053\u3068\u3067\u3059. \u3053\u306e\u6027\u8cea\u304c\u3042\u308b\u305f\u3081, \u81ea\u7136\u6570\\(n\\)\u3092, (1) \\(2025\\)\u306f\\(3^4\\cdot 5^2\\)\u3068\u7d20\u56e0\u6570\u5206\u89e3\u304c\u3067\u304d, \u305d\u306e\u4efb\u610f\u306e\u6b63\u306e\u7d04\u6570\u306f\\(3^a\\cdot 5^b\\)\u306e\u5f62\u3067\u8868\u3059\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d\u308b. \u3053\u3053\u3067, \\(a\\), \\(b\\)\u306f\u305d\u308c\u305e\u308c, \\(0\\)\u4ee5\u4e0a\\(4\\)\u4ee5\u4e0b, \\(0\\)\u4ee5\u4e0a\\(2\\)\u4ee5\u4e0b\u306e\u6574\u6570\u3067\u3042\u308b. \u7d20\u56e0\u6570\u5206\u89e3\u306e\u4e00\u610f\u6027\u3088\u308a, \\(a\\), \\(b\\)\u304c\u305d\u308c\u305e\u308c\u4e00\u81f4\u3057\u306a\u3044\u9650\u308a\u5225\u306e\u6b63\u306e\u7d04\u6570\u306b\u306a\u308b\u3053\u3068\u304c\u308f\u304b\u308b. \u3088\u3063\u3066\\(2025\\)\u306e\u6b63\u306e\u7d04\u6570\u306e\u500b\u6570\u306f, \\(a\\)\u306e\u9078\u3073\u65b9\u304c\\(5\\)\u901a\u308a, \u307e\u305f, \u5404\\(a\\)\u306e\u5024\u306b\u5bfe\u3057\u3066\\(b\\)\u306e\u9078\u3073\u65b9\u304c\\(3\\)\u901a\u308a\u3042\u308b\u306e\u3067, \\(3\\times 5\\)\u306e\\(15\\)\u500b\u3067\u3042\u308b. \u3088\u3063\u3066, \\(d(2025)=15\\)\u3068\u306a\u308a, (2) \\(d(p^k)=k+1\\)\u306b\u6ce8\u610f\u3057\u3066, \u4e0e\u3048\u3089\u308c\u305f\u4e0d\u7b49\u5f0f\u3092\u540c\u5024\u5909\u5f62\u3057\u3066\u3044\u304f. (3) \u81ea\u7136\u6570\\(n\\)\u3092 \u3053\u3061\u3089\u306f\u8b70\u8ad6\u3082\u96e3\u3057\u304f, \u306a\u304b\u306a\u304b\u306e\u96e3\u554f\u3067\u306f\u306a\u3044\u304b\u3068\u601d\u3044\u307e\u3059. \u79c1\u306f\u5927\u5b66\u3067\u4e57\u6cd5\u7684\u95a2\u6570\u306e\u5b58\u5728\u3092\u77e5\u3063\u3066\u3044\u305f\u306e\u3067, \\(f(n)\\)\u3092\u7d20\u6570\u3054\u3068\u306b\u5206\u89e3\u3057\u3066\u8003\u3048\u308b\u767a\u60f3\u304c\u3067\u304d\u307e\u3057\u305f\u304c, \u305d\u308c\u3092\u77e5\u3089\u306a\u3044\u3068\u306a\u304b\u306a\u304b\u96e3\u3057\u3044\u306e\u306f\u306a\u3044\u304b\u3068\u601d\u3044\u307e\u3059. (2)\u304c\u591a\u5c11\u30d2\u30f3\u30c8\u306b\u306a\u3063\u3066\u3044\u308b\u306e\u3067, \u305d\u3061\u3089\u3067\u6c17\u3065\u304b\u306a\u3044\u3068\u3044\u3051\u306a\u3044\u306e\u304b\u3082\u77e5\u308c\u307e\u305b\u3093.
$$
f(n)=\\frac{d(n)}{\\sqrt{n}}
$$
\u3068\u304a\u304f. \u4ee5\u4e0b\u306e\u554f\u3044\u306b\u7b54\u3048\u3088.
(1) \\(f(2025)\\)\u306e\u5024\u3092\u6c42\u3081\u3088.
(2) \u7d20\u6570\\(p\\)\u3068\u6b63\u306e\u6574\u6570\\(k\\)\u306e\u7d44\u3067\\(f(p^k)\\leq f(p^{k+1})\\)\u3092\u6e80\u305f\u3059\u3082\u306e\u3092\u5168\u3066\u6c42\u3081\u3088.
(3) \\(f(n)\\)\u306e\u6700\u5927\u5024\u3068, \u305d\u306e\u3068\u304d\u306e\\(n\\)\u306e\u5024\u3092\u6c42\u3081\u3088.
(2025 \u4e00\u6a4b\u5927\u5b66)<\/span><\/p>\n\n\n\n
$$
n={p_1}^{k_1}{p_2}^{k_2}\\cdots{p_r}^{k_r}
$$
\u306e\u3088\u3046\u306b\u76f8\u7570\u306a\u308b\u7d20\u6570\\(p_1, p_2, \\cdots, p_r\\)\u306e\u7a4d\u306e\u5f62\u3067\u7d20\u56e0\u6570\u5206\u89e3\u3057\u305f\u3068\u304d,
$$
d(n)=d({p_1}^{k_1})\\cdot d({p_2}^{k_2})\\cdots d({p_r}^{k_r})
$$
\u306e\u3088\u3046\u306b\u7d20\u6570\u3054\u3068\u306b\u5206\u89e3\u3057\u3066\u8a08\u7b97\u3059\u308b\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d\u307e\u3059. \u5b9f\u306f\\(f(n)\\)\u3082\u4e57\u6cd5\u7684\u95a2\u6570\u306b\u306a\u308a,
$$
f(n)=f({p_1}^{k_1})\\cdot f({p_2}^{k_2})\\cdots f({p_r}^{k_r})
$$
\u304c\u6210\u308a\u7acb\u3061\u307e\u3059. \u3053\u3053\u306b\u6c17\u3065\u304f\u3053\u3068\u304c\u3053\u306e\u554f\u984c\u3092\u89e3\u304f\u30df\u30bd\u3067\u3059.
\u305d\u308c\u3067\u306f\u89e3\u3044\u3066\u3044\u304d\u307e\u3057\u3087\u3046.<\/p>\n\n\n\n
$$
f(2025)=\\frac{d(2025)}{\\sqrt{2025}}=\\frac{15}{45}=\\frac{1}{3}
$$
\u3068\u306a\u308b.
<\/p>\n\n\n\n
$$
\\begin{align}
f(p^k)\\leq f(p^{k+1}) &\\iff \\frac{d(p^k)}{\\sqrt{p^k}}\\leq \\frac{d(p^{k+1})}{\\sqrt{p^{k+1}}}\\\\[1.5ex]
&\\iff \\frac{k+1}{\\sqrt{p^k}}\\leq \\frac{k+2}{\\sqrt{p^{k+1}}}\\\\[1.5ex]
&\\iff (k+1)\\sqrt{p^{k+1}}\\leq (k+2)\\sqrt{p^{k}}\\\\[1.5ex]
&\\iff (k+1)\\sqrt{p}\\leq k+2\\\\[1.5ex]
&\\iff \\sqrt{p}\\leq \\frac{k+2}{k+1}
\\end{align}
$$
\u3053\u306e\u4e0d\u7b49\u5f0f\u3092\u6e80\u305f\u3059, \\(p\\), \\(k\\)\u3092\u6c42\u3081\u308c\u3070\u826f\u3044. \u3053\u3053\u3067, \\(k\\)\u304c\\(1\\)\u4ee5\u4e0a\u306e\u6574\u6570\u3067\u3042\u308b\u3053\u3068\u304b\u3089,
$$
\\frac{k+2}{k+1}=\\frac{(k+1)+1}{k+1}=1+\\frac{1}{k+1}\\leq 1+\\frac{1}{2}=\\frac{3}{2}
$$
\u3067\u3042\u308b\u304b\u3089,
$$
\\sqrt{p}\\leq \\frac{3}{2}
$$
\u3067\u3042\u308b. \u4e21\u8fba\u6b63\u3067\u3042\u308b\u304b\u3089\u4e8c\u4e57\u3057\u3066,
$$
p\\leq \\frac{9}{4}
$$
\u3092\u5f97\u308b\u304c, \\(p\\)\u304c\u7d20\u6570\u3067\u3042\u308b\u3053\u3068\u304b\u3089, \\(p=2\\)\u3060\u3051\u304c\\(p\\)\u306e\u5019\u88dc\u3068\u306a\u308b. \u6b21\u306b\\(p=2\\)\u306e\u3068\u304d,
$$
\\sqrt{2}\\leq\\frac{k+2}{k+1} \\iff \\sqrt{2}(k+1)\\leq k+2 \\iff k\\leq\\frac{2-\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}-1}=
\\sqrt{2}
$$
\u3067\u3042\u308b\u304b\u3089, \u3053\u308c\u3092\u6e80\u305f\u3059\u6b63\u306e\u6574\u6570\\(k\\)\u306f\\(1\\)\u306b\u9650\u3089\u308c\u308b.
\u3088\u3063\u3066, \\(f(p^k)\\leq f(p^{k+1})\\)\u3092\u6e80\u305f\u3059\\(p\\), \\(k\\)\u306e\u7d44\u306f, \\((p,k)=(2,1)\\)\u3067\u3042\u308a, \u3053\u308c\u4ee5\u5916\u306b\u306f\u5b58\u5728\u3057\u306a\u3044.
<\/p>\n\n\n\n
$$
n={p_1}^{k_1}{p_2}^{k_2}\\cdots{p_r}^{k_r}
$$
\u306e\u3088\u3046\u306b\u76f8\u7570\u306a\u308b\u7d20\u6570\\(p_1, p_2, \\cdots, p_r\\)\u306e\u7a4d\u306e\u5f62\u3067\u7d20\u56e0\u6570\u5206\u89e3\u3092\u3059\u308b. \u3053\u3053\u3067\\(k_1, k_2, \\cdots, k_r\\)\u306f\u6b63\u306e\u6574\u6570\u3067\u3042\u308b. \u3053\u306e\u3068\u304d, \\(n\\)\u306e\u4efb\u610f\u306e\u6b63\u306e\u7d04\u6570\u306f, \\({p_1}^{a_1}{p_2}^{a_2}\\cdots{p_r}^{a_r}\\)\u306e\u5f62\u3092\u3057\u3066\u304a\u308a, \u7d20\u56e0\u6570\u5206\u89e3\u306e\u4e00\u610f\u6027\u3068, \\(i=1,2,\\cdots, r\\)\u306b\u5bfe\u3057\u3066\\(a_i\\)\u306f\\(0\\)\u4ee5\u4e0a\\(k_i\\)\u4ee5\u4e0b\u306e\u6574\u6570\u5024\u3092\u3068\u308b\u3053\u3068\u304b\u3089, \\(n\\)\u306e\u6b63\u306e\u7d04\u6570\u306e\u500b\u6570\u306f\\((k_1+1)(k_2+1)\\cdots(k_r+1)\\)\u3067\u3042\u308b\u3053\u3068\u304c\u308f\u304b\u308b. \u3053\u308c\u304b\u3089,
$$
\\begin{align}
f(n)&=\\frac{d({p_1}^{k_1}{p_2}^{k_2}\\cdots{p_r}^{k_r})}{\\sqrt{{p_1}^{k_1}{p_2}^{k_2}\\cdots{p_r}^{k_r}}}\\\\[1.5ex]
&=\\frac{(k_1+1)(k_2+1)\\cdots(k_r+1)}{\\sqrt{{p_1}^{k_1}}\\sqrt{{p_2}^{k_2}}\\cdots\\sqrt{{p_r}^{k_r}}}\\\\[1.5ex]
&=\\frac{(k_1+1)}{\\sqrt{{p_1}^{k_1}}}\\cdot\\frac{(k_2+1)}{\\sqrt{{p_2}^{k_2}}}\\cdots\\frac{(k_r+1)}{\\sqrt{{p_r}^{k_r}}}\\\\[1.5ex]
&=f({p_1}^{k_1})f({p_2}^{k_2})\\cdots({p_r}^{k_r})
\\end{align}
$$
\u3068\u306a\u308b\u3053\u3068\u304c\u308f\u304b\u308b\u306e\u3067, \u7d20\u6570\\(p\\)\u3068\\(0\\)\u4ee5\u4e0a\u306e\u6574\u6570\\(k\\)\u306b\u5bfe\u3057\u3066, \\(f(p^k)=\\frac{k+1}{\\sqrt{p^k}}\\)\u306e\u6700\u5927\u5024\u3092\u8abf\u3079\u308b.
\u307e\u305a, \\(k=0\\)\u306e\u3068\u304d, \\(p\\)\u306e\u5024\u306b\u3088\u3089\u305a, \\(f(p^0)=f(1)=1\\)\u3067\u3042\u308b\u3053\u3068\u306f\u3059\u3050\u306b\u308f\u304b\u308b. \u3088\u3063\u3066, \\(k\\geq 1\\)\u3068\u3057\u3066, \u5404\u7d20\u6570\\(p\\)\u306b\u3064\u3044\u3066\u78ba\u8a8d\u3059\u308b.
\u2460 \\(p=2\\)\u306e\u3068\u304d
$$
\\begin{align}
f(2^1)&=f(2)=\\frac{d(2)}{\\sqrt{2}}=\\sqrt{2}\\\\[1.5ex]
f(2^2)&=f(2^2)=\\frac{d(2^2)}{\\sqrt{2^2}}=\\frac{3}{2}
\\end{align}
$$
\u3068\u306a\u308a, \\(f(2^0)<f(2^1)<f(2^2)\\)\u3068\u306a\u3063\u3066\u3044\u308b. \u3053\u3053\u3067(2)\u3088\u308a,
$$
f(2^2)>f(2^3)>f(2^4)>\\cdots
$$
\u304c\u308f\u304b\u308b\u306e\u3067, \\(f(2^k)\\)\u306f\\(k=2\\)\u306e\u3068\u304d\u6700\u5927\u5024\\(\\frac{3}{2}\\)\u3092\u3068\u308b.
\u2461 \\(p=3\\)\u306e\u3068\u304d
$$
f(3^1)=f(3)=\\frac{d(3)}{\\sqrt{3}}=\\frac{2}{\\sqrt{3}}
$$
\u3068\u306a\u308a, \\(f(3^0)<f(3^1)\\)\u3068\u306a\u3063\u3066\u3044\u308b. \u3053\u3053\u3067(2)\u3088\u308a,
$$
f(3^1)>f(3^2)>f(3^3)>\\cdots
$$
\u304c\u308f\u304b\u308b\u306e\u3067, \\(f(3^k)\\)\u306f\\(k=1\\)\u306e\u3068\u304d\u6700\u5927\u5024\\(\\frac{2}{\\sqrt{3}}\\)\u3092\u3068\u308b.
\u2462 \\(p\\)\u304c\\(5\\)\u4ee5\u4e0a\u306e\u7d20\u6570\u306e\u3068\u304d
$$
f(p^1)=\\frac{d(p)}{\\sqrt{p}}=\\frac{1}{\\sqrt{p}}\\leq\\frac{1}{5}<1=f(p^0)
$$
\u3067\u3042\u308a, (2)\u3088\u308a,
$$
f(p^1)>f(p^2)>f(p^3)>\\cdots
$$
\u304c\u308f\u304b\u308b\u306e\u3067, \\(f(p^k)\\)\u306f\\(k=0\\)\u306e\u3068\u304d\u6700\u5927\u5024\\(1\\)\u3092\u3068\u308b.
\u4ee5\u4e0a\u3092\u8e0f\u307e\u3048\u3066\\(f(n)\\)\u306e\u6700\u5927\u5024\u3092\u6c42\u3081\u308b. \\(n=2^{k_1}3^{k_2}{p_3}^{k_3}{p_4}^{k_4}\\cdots{p_r}^{k_r}\\)\u3068\u7d20\u56e0\u6570\u5206\u89e3\u3092\u3059\u308b. \u3053\u3053\u3067\\(k_1, k_2, \\cdots, k_r\\)\u306f\\(0\\)\u4ee5\u4e0a\u306e\u6574\u6570\u3067, \\(p_3, p_4, \\cdots, p_r\\)\u306f\u3044\u305a\u308c\u30823\u3088\u308a\u5927\u304d\u3044\u76f8\u7570\u306a\u308b\u7d20\u6570\u3068\u3059\u308b. \u3053\u306e\u3068\u304d, \u5148\u306b\u5f97\u305f\u5404\u7d20\u6570\\(p\\)\u306b\u5bfe\u3059\u308b \\(f(p^k)\\)\u306e\u6700\u5927\u5024\u306e\u8b70\u8ad6\u304b\u3089,
$$
\\begin{align}
f(n)&=f(2^{k_1})f(3^{k_2})f({p_3}^{k_3})f({p_4}^{k_4})\\cdots f({p_r}^{k_r})\\\\[1.5ex]
&\\leq \\frac{3}{2}\\cdot\\frac{2}{\\sqrt{3}}\\cdot 1 \\cdot 1 \\cdots 1=\\sqrt{3}
\\end{align}
$$\u304c\u308f\u304b\u308a, \u3053\u308c\u304b\u3089, \\(n=2^2\\cdot 3^1=12\\)\u306e\u3068\u304d,\\(f(n)\\)\u306f\u6700\u5927\u5024\\(\\sqrt{3}\\)\u3092\u3068\u308b\u3053\u3068\u304c\u308f\u304b\u308b.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n
youtube\u3067\u3082\u89e3\u8aac\u3057\u3066\u3044\u307e\u3059.<\/p>\n\n\n\n