\u4eca\u56de\u306f\u3053\u3061\u3089\u306e\u554f\u984c\u3092\u89e3\u3044\u3066\u3044\u304d\u307e\u3059.<\/p>\n\n\n\n
\u5b9f\u6570\\(t\\)\u306e\u95a2\u6570$$ \u305d\u308c\u3067\u306f\u89e3\u3044\u3066\u3044\u304d\u307e\u3057\u3087\u3046.<\/p>\n\n\n\n (1) \\(0\\leq t\\leq 1\\)\u306e\u3068\u304d, \\(x^2-t^2\\)\u306f\\(0\\leq x\\leq t\\)\u306e\u7bc4\u56f2\u3067\\(0\\)\u4ee5\u4e0b, \\(t\\leq x\\leq 1\\)\u306e\u7bc4\u56f2\u3067\\(0\\)\u4ee5\u4e0a\u306b\u306a\u308b\u306e\u3067,$$ (2) (1)\u3067\\(0\\leq t\\leq 1\\)\u306e\u5834\u5408\u3092\u8003\u5bdf\u3057\u3066\u3044\u308b\u306e\u3067, \\(t>1\\)\u306e\u3068\u304d\u3092\u8003\u3048\u308b. \u3053\u306e\u3068\u304d, \\(0\\leq x\\leq 1\\)\u3067\\(x^2-t^2\\)\u306f\u8ca0\u306a\u306e\u3067, \\(F(t)\\)\u3092\u8a08\u7b97\u3059\u308b\u3068, $$ youtube\u3067\u3082\u89e3\u8aac\u3057\u3066\u3044\u307e\u3059.<\/p>\n\n\n\n
F(t)=\\int_0^1|x^2-t^2|\\,dx
$$\u306b\u3064\u3044\u3066, \u4ee5\u4e0b\u306e\u554f\u3044\u306b\u7b54\u3048\u3088.
(1) \\(0\\leq t\\leq 1\\)\u306e\u3068\u304d, \\(F(t)\\)\u3092\\(t\\)\u306e\u6574\u5f0f\u3068\u3057\u3066\u8868\u305b.
(2) \\(t\\geq 0\\)\u306e\u3068\u304d, \\(F(t)\\)\u306e\u6700\u5c0f\u5024\u3092\u6c42\u3081\u3088.
(2022 \u6771\u5317\u5927\u5b66 [2])<\/span><\/p>\n\n\n\n
\\begin{align}
F(t)&=\\int_0^1 \\left|x^2-t^2\\right|\\,dx\\\\[1.5ex]
&= \\int_0^t \\left\\{-\\left(x^2-t^2\\right)\\right\\}\\,dx+\\int_t^1 \\left(x^2-t^2\\right)\\,dx\\\\[1.5ex]
&=-\\left[\\frac{x^3}{3}-t^2x\\right]_0^t+\\left[\\frac{x^3}{3}-t^2x\\right]_t^1\\\\[1.5ex]
&=-\\frac{t^3}{3}+t^3+\\frac{1}{3}-t^2-\\frac{t^3}{3}+t^3\\\\[1.5ex]
&=\\frac{4}{3}t^3-t^2+\\frac{1}{3}
\\end{align}
$$\u3068\u306a\u308a, \\(F(t)\\)\u3092\\(t\\)\u306e\u6574\u5f0f\u3067\u8868\u3059\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d\u305f.<\/p>\n\n\n\n
\\begin{align}
F(t)&=\\int_0^1\\left|x^2-t^2\\right|\\,dx\\\\[1.5ex]
&=-\\int_0^1\\left(x^2-t^2\\right)\\,dx\\\\[1.5ex]
&=-\\left[\\frac{x^3}{3}-t^2x\\right]_0^1\\\\[1.5ex]
&=t^2-\\frac{1}{3}
\\end{align}
$$\u3068\u306a\u308b. \u3053\u308c\u3067\\(t\\geq 0\\)\u306e\u7bc4\u56f2\u3067\\(F(t)\\)\u3092\\(t\\)\u306e\u6574\u5f0f\u3067\u66f8\u3051\u305f\u306e\u3067, \u2460\\(0\\leq t\\leq 1\\), \u2461\\(1<t\\)\u306e\u5404\u5834\u5408\u306b\u304a\u3044\u3066\\(F(t)\\)\u306e\u5897\u6e1b\u3092\u8abf\u3079\u3066\u3044\u304f.
\u2460 \\(0\\leq t \\leq 1\\)\u306e\u3068\u304d
$$
F^\\prime(t)=4t^2-2t=4t\\left(t-\\frac{1}{2}\\right)
$$\u3088\u308a, \\(F^\\prime(t)=0\\)\u3068\u3059\u308b\u3068, \\(\\displaystyle t=0, \\frac{1}{2}\\)\u3067\u3042\u308b.
\u2461 \\(1<t\\)\u306e\u3068\u304d
$$
F^\\prime(t)=2t>0
$$\u3067\u3042\u308b.
\u3088\u3063\u3066, \\(t\\geq 0\\)\u306e\u7bc4\u56f2\u3067\u5897\u6e1b\u8868\u3092\u66f8\u304f\u3068,$$
\\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\\hline
t & 0 & \\cdots & \\frac{1}{2} & \\cdots & 1 & \\cdots \\\\[1.5ex]
\\hline
F'(t) & 0 & – & 0 & + & + & +\\\\[1.5ex]
\\hline
F(t) & & \\searrow & &\\nearrow& & \\nearrow\\\\[1.5ex]
\\hline
\\end{array}
$$\u3068\u306a\u308a, \\(F(t)\\)\u306f\\(\\displaystyle t=\\frac{1}{2}\\)\u306e\u3068\u304d\u6700\u5c0f\u5024\u3092\u3068\u308b\u3053\u3068\u304c\u308f\u304b\u308a, \u305d\u306e\u6700\u5c0f\u5024\u306f,
$$
\\begin{align}
F\\left(\\frac{1}{2}\\right)&=\\frac{4}{3}\\left(\\frac{1}{2}\\right)^3-\\left(\\frac{1}{2}\\right)^2+\\frac{1}{3}\\\\[1.5ex]
&=\\frac{1}{6}-\\frac{1}{4}+\\frac{1}{3}=\\frac{1}{4}
\\end{align}
$$\u3067\u3042\u308b.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n