{"id":2696,"date":"2025-08-13T03:52:22","date_gmt":"2025-08-12T18:52:22","guid":{"rendered":"https:\/\/math-friend.com\/?p=2696"},"modified":"2025-08-15T12:03:20","modified_gmt":"2025-08-15T03:03:20","slug":"%e3%80%90%e4%b9%9d%e5%b7%9e%e5%a4%a7%e5%ad%a6%e5%85%a5%e8%a9%a6%e3%80%91%e9%9a%8e%e4%b9%97%e3%82%92%e5%90%ab%e3%82%80%e4%b8%8d%e7%ad%89%e5%bc%8f%e3%81%a8%e6%96%b9%e7%a8%8b%e5%bc%8f%e3%81%ae%e6%95%b4","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/math-friend.com\/?p=2696","title":{"rendered":"\u3010\u4e5d\u5dde\u5927\u5b66\u5165\u8a66\u3011\u968e\u4e57\u3092\u542b\u3080\u4e0d\u7b49\u5f0f\u3068\u65b9\u7a0b\u5f0f\u306e\u6574\u6570\u554f\u984c(2024)"},"content":{"rendered":"\n

\u4eca\u56de\u306f\u3053\u3061\u3089\u306e\u554f\u984c\u3092\u89e3\u3044\u3066\u3044\u304d\u307e\u3059.<\/p>\n\n\n\n

(1) \u81ea\u7136\u6570\\(a\\), \\(b\\)\u304c\\(a<b\\)\u3092\u6e80\u305f\u3059\u3068\u304d, \\(\\displaystyle \\frac{b!}{a!}\\geq b\\)\u3092\u793a\u305b.
(2) \\(2\\cdot a!=b!\\) \u3068\u306a\u308b\u81ea\u7136\u6570\u306e\u7d44\\((a, b)\\)\u3092\u3059\u3079\u3066\u6c42\u3081\u3088.
(3) \\(a!+b!=2\\cdot c!\\) \u3068\u306a\u308b\u81ea\u7136\u6570\u306e\u7d44\\((a,b,c)\\)\u3092\u3059\u3079\u3066\u6c42\u3081\u3088.
(2024 \u4e5d\u5dde\u5927\u5b66 [3])<\/span><\/p>\n\n\n\n

\u305d\u308c\u3067\u306f\u89e3\u3044\u3066\u3044\u304d\u307e\u3057\u3087\u3046.<\/p>\n\n\n\n

\n

(1) \\(a\\), \\(b\\)\u306f\u81ea\u7136\u6570\u3088\u308a, \\(a<b\\)\u304b\u3089\\(a\\leq b-1\\)\u3068\u306a\u308b. \u3053\u308c\u304b\u3089, \\(a!\\leq (b-1)!\\)\u304c\u308f\u304b\u308a, \u4e21\u8fba\u306b\\(b(>0)\\)\u3092\u304b\u3051\u305f\u3042\u3068\u306b\\(a!(>0)\\)\u3067\u5272\u308b\u3068, $$
\\begin{align}
& b\\cdot a!\\leq b\\cdot (b-1)!\\\\[1.5ex]
\\iff & b\\cdot a!\\leq b!\\\\[1.5ex]
\\iff & b\\leq \\frac{b!}{a!}\\\\[1.5ex]
\\end{align}
$$\u304c\u308f\u304b\u308b.<\/p>\n\n\n\n

(2) \u307e\u305a, \\(a<b\\)\u3067\u3042\u308b\u3053\u3068\u3092\u793a\u3059. \\(a\\geq b\\)\u3068\u3059\u308b\u3068, \\(a!\\geq b!\\)\u3088\u308a,$$
\\begin{align}
b!=2\\cdot a! \\geq 2\\cdot b!
\\end{align}
$$\u3068\u306a\u308a, \u4e21\u8fba\u3092\\(b!(>0)\\)\u3067\u5272\u308b\u3068,$$
1\\geq 2
$$\u3068\u306a\u308a\u3053\u308c\u306f\u77db\u76fe\u3067\u3042\u308b. \u3088\u3063\u3066, \\(a<b\\)\u3068\u306a\u308b\u3053\u3068\u304c\u308f\u304b\u308b.

\u81ea\u7136\u6570\\(a\\), \\(b\\)\u306b\u5bfe\u3057\u3066\\(a<b\\)\u304c\u6210\u308a\u7acb\u3064\u304b\u3089, (1)\u3088\u308a, \\(\\displaystyle \\frac{b!}{a!}\\geq b\\)\u3067\u3042\u308b\u304b\u3089,$$
\\begin{align}
&2\\cdot a!=b!\\\\[1.5ex]
\\Longrightarrow & 2=\\frac{b!}{a!}\\geq b
\\end{align}
$$\u3068\u306a\u308a, \\(b\\)\u304c\u81ea\u7136\u6570\u3067\u3042\u308b\u3053\u3068\u304b\u3089\\(b=1\\), \u307e\u305f\u306f, \\(b=2\\)\u3068\u306a\u308b\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308b.

\\(b=1\\)\u306e\u3068\u304d, \\(a<b=1\\)\u3092\u6e80\u305f\u3059\u81ea\u7136\u6570\\(a\\)\u306f\u5b58\u5728\u3057\u306a\u3044.

\\(b=2\\)\u306e\u3068\u304d, \\(a<b=2\\)\u3092\u6e80\u305f\u3059\u81ea\u7136\u6570\\(a\\)\u306f\\(a=1\\)\u306e\u307f\u3067\u3042\u308a, \\((a,b)=(1,2)\\)\u306f\\(2\\cdot a!=b!\\)\u3092\u6e80\u305f\u3059.

\u3088\u3063\u3066, \\(2\\cdot a!=b!\\)\u3092\u6e80\u305f\u3059\u81ea\u7136\u6570\u306e\u7d44\\((a,b)\\)\u306f\\((a,b)=(1,2)\\)\u3067\u3042\u308a, \u3053\u308c\u306b\u9650\u308b.<\/p>\n\n\n\n

(3) \\(a!+b!=2\\cdot c!\\)\u306f\\(a\\), \\(b\\)\u306b\u95a2\u3057\u3066\u5bfe\u79f0\u3060\u304b\u3089, \\(a \\geq b\\)\u3068\u3057\u3066\u3088\u3044. \u2460\\(a=b\\), \u2461\\(a>b\\)\u3067\u5834\u5408\u308f\u3051\u3057\u3066, \u6761\u4ef6\u5f0f\u3092\u6e80\u305f\u3059\\((a,b,c)\\)\u306e\u7d44\u3092\u6c42\u3081\u308b.

\u2460 \\(a=b\\)\u306e\u3068\u304d
\\(b!=a!\\)\u3088\u308a, $$
\\begin{align}
& 2\\cdot c!=a!+b!=2\\cdot a!\\\\[1.5ex]
\\iff & c!=a!
\\end{align}
$$\u3068\u306a\u308a, \\(a\\), \\(c\\)\u304c\u81ea\u7136\u6570\u3067\u3042\u308b\u3053\u3068\u304b\u3089, \\(a=c\\)\u304c\u308f\u304b\u308b.

\u3088\u3063\u3066, \\(a=b=c\\)\u3068\u306a\u308b\u3053\u3068\u304c\u308f\u304b\u308b. \u9006\u306b\u4efb\u610f\u306e\u81ea\u7136\u6570\\(n\\)\u306b\u5bfe\u3057\u3066, \\(a=b=c=n\\)\u3068\u3059\u308b\u3068, \\(a!+b!=2\\cdot c!\\)\u304c\u6210\u308a\u7acb\u3064.

\u2461 \\(a>b\\)\u306e\u3068\u304d
\\(a>b\\)\u306e\u3068\u304d, \\(a!>b!\\)\u3067\u3042\u308b\u3053\u3068, \u307e\u305f, \\(b\\), \\(c\\)\u304c\u81ea\u7136\u6570\u3067\u3042\u308b\u3053\u3068\u306b\u6ce8\u610f\u3057\u3066,$$
\\begin{align}
& 2\\cdot c!=a!+b!>2\\cdot b!\\\\[1.5ex]
\\iff & c!>b!\\\\[1.5ex]
\\iff & c>b\\\\[1.5ex]
\\end{align}
$$\u3068\u306a\u308b. \u3053\u308c\u304b\u3089, \\(b\\)\u306f\\(a\\), \\(c\\)\u3044\u305a\u308c\u3088\u308a\u3082\u5c0f\u3055\u3044\u3053\u3068\u304c\u308f\u304b\u308b\u306e\u3067, \u81ea\u7136\u6570\\(n\\), \\(m\\)\u3092\u7528\u3044\u3066,$$
\\begin{align}
a&=b+n\\\\[1.5ex]
c&=b+m
\\end{align}
$$\u3067\u3042\u308b\u3053\u3068\u304c\u308f\u304b\u308b.

\u3053\u308c\u3092\u6761\u4ef6\u5f0f\u306b\u4ee3\u5165\u3057\u3066,$$
(b+n)!+b!=2\\cdot (b+m)!
$$\u3068\u306a\u308b\u304c, $$
\\begin{align}
(b+n)!&=(b+n)(b+n-1)\\cdots (b+1)b!\\\\[1.5ex]
(b+m)!&=(b+m)(b+m-1)\\cdots (b+1)b!
\\end{align}
$$\u3068\u306a\u308b\u304b\u3089, $$
(b+n)(b+n-1)\\cdots (b+1)b! + b!=(b+m)(b+m-1)\\cdots (b+1)b!
$$\u304c\u306a\u308a\u305f\u3064. \u4e21\u8fba\u3092\\(b!\\)\u3067\u5272\u3063\u3066, $$
(b+n)(b+n-1)\\cdots (b+1) + 1=2(b+m)(b+m-1)\\cdots (b+1)
$$\u3068\u306a\u308b. \u3053\u3053\u3067, \\(n\\geq 2\\)\u3068\u3059\u308b\u3068, \u5de6\u8fba\u306f\u9023\u7d9a\u3059\u308b\\(2\\)\u3064\u4ee5\u4e0a\u306e\u81ea\u7136\u6570\u306e\u7a4d\u306b\\(1\\)\u3092\u8db3\u3057\u305f\u3082\u306e\u3067\u3042\u308a, \u5947\u6570\u3068\u306a\u308b. \u4e00\u65b9\u3067\u53f3\u8fba\u306f\u5076\u6570\u3067\u3042\u308b\u3053\u3068\u304b\u3089, \u3053\u308c\u3089\u306f\u77db\u76fe\u3059\u308b. \u3088\u3063\u3066, \\(n=1\\)\u3068\u306a\u308b\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308b.

\\(n=1\\)\u306e\u3068\u304d, $$
(b+1)+1=2(b+m)(b+m-1)\\cdots (b+2)(b+1)
$$\u3068\u306a\u308b\u304c, \\(m\\geq 2\\)\u3068\u3059\u308b\u3068, \u4e21\u8fba\u3092\\(b+2\\)\u3067\u5272\u308b\u3053\u3068\u3067,$$
1=2\\times (\u81ea\u7136\u6570)
$$\u3068\u306a\u308a, \u3053\u308c\u306f\u77db\u76fe\u3067\u3042\u308b. \u3088\u3063\u3066\\(m=1\\)\u3068\u306a\u308b\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308b\u304c, \u3053\u306e\u3068\u304d, \u6761\u4ef6\u5f0f\u306f$$
b+2=2(b+1)
$$\u3068\u306a\u308a, \\(b=0\\)\u304c\u5c0e\u304b\u308c\u308b\u304c, \u3053\u308c\u306f\\(b\\)\u304c\u81ea\u7136\u6570\u3067\u3042\u308b\u3053\u3068\u306b\u53cd\u3059\u308b. \u3088\u3063\u3066, \\(a>b\\)\u306e\u3068\u304d\u306b, \u6761\u4ef6\u5f0f\u3092\u6e80\u305f\u3059\u81ea\u7136\u6570\u306e\u7d44\\((a,b,c)\\)\u306f\u5b58\u5728\u3057\u306a\u3044.

\u2460, \u2461\u304b\u3089\u6761\u4ef6\u5f0f\u3092\u6e80\u305f\u3059, \u81ea\u7136\u6570\\((a,b,c)\\)\u306e\u7d44\u306f, \u4efb\u610f\u306e\u81ea\u7136\u6570\\(n\\)\u306b\u5bfe\u3057\u3066, \\((n,n,n)\\)\u3067\u3042\u308b.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n

(3)\u306e\u2462\u306e\u5225\u89e3\u6cd5\u3092\u7d39\u4ecb\u3057\u307e\u3059. \u3053\u3061\u3089\u306e\u65b9\u304c\u3088\u308a\u30b9\u30de\u30fc\u30c8\u3067\u3059.

(3) \u2462\u306e\u5225\u89e3\u6cd5
\\(a>b\\geq 1\\)\u3088\u308a,$$
2\\cdot c!=a!+b!<a!+a!+2\\cdot a!
$$\u3068\u306a\u308a, \u3053\u308c\u304b\u3089, \\(c!<a!\\)\u304c\u308f\u304b\u308a, \\(c<a\\)\u3082\u308f\u304b\u308a\u307e\u3059. \u3055\u3089\u306b\u3053\u308c\u304b\u3089, \\(\\displaystyle\\frac{a!}{c!}\\)\u306f\u81ea\u7136\u6570\u3067\u3042\u308a, \\(\\displaystyle\\frac{a!}{c!}>1\\)\u3067\u3042\u308b\u3053\u3068\u304b\u3089, \\(\\displaystyle\\frac{a!}{c!}\\geq 2\\)\u304c\u308f\u304b\u308a\u307e\u3059. \u3055\u3089\u306b,$$
a!<a!+b!=2\\cdot c!
$$\u3088\u308a, \\(\\displaystyle\\frac{a!}{c!}<2\\)\u3082\u308f\u304b\u308a, \u3053\u308c\u306f\u5148\u307b\u3069\u306e\u5f0f\u306b\u77db\u76fe\u3057\u307e\u3059.

\u3088\u3063\u3066, \\(a>b\\)\u306e\u3068\u304d, \\(a!+b!=2\\cdot c!\\)\u3092\u6e80\u305f\u3059\u81ea\u7136\u6570\u306e\u7d44\\((a,b,c)\\)\u306f\u5b58\u5728\u3057\u307e\u305b\u3093.<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n

youtube\u3067\u3082\u89e3\u8aac\u3057\u3066\u3044\u307e\u3059.<\/p>\n\n\n\n