\u4eca\u56de\u306f\u3053\u3061\u3089\u306e\u554f\u984c\u3092\u89e3\u3044\u3066\u3044\u304d\u307e\u3059.<\/p>\n\n\n\n
(1) \\(t\\)\u3092\\(t>1\\)\u3092\u6e80\u305f\u3059\u5b9f\u6570\u3068\u3059\u308b. \u6b63\u306e\u5b9f\u6570\\(x\\)\u304c\u6b21\u306e2\u3064\u306e\u6761\u4ef6$$ \u305d\u308c\u3067\u306f\u89e3\u3044\u3066\u3044\u304d\u307e\u3057\u3087\u3046.<\/p>\n\n\n\n (1) \\(t>1\\) \u3088\u308a\\(\\sqrt{t}-1>0\\) \u3067\u3042\u308b\u3053\u3068, \u307e\u305f\\(x>0\\)\u3067\u3042\u308b\u3053\u3068\u306b\u6ce8\u610f\u3057\u30661\u3064\u76ee\u306e\u6761\u4ef6\u5f0f\u3092\u540c\u5024\u5909\u5f62\u3057\u3066,$$ (2) \u307e\u305a\\(n\\)\u304c\u5c0f\u3055\u3044\u65b9\u304b\u3089\u4e0d\u7b49\u5f0f\u304c\u6210\u308a\u7acb\u3064\u304b\u3092\u8abf\u3079\u3066\u3044\u304f. youtube\u3067\u3082\u89e3\u8aac\u3057\u3066\u3044\u307e\u3059.<\/p>\n\n\n\n
x>\\frac{1}{\\sqrt{t}-1},\\,\\,\\,x\\geq 2\\log_t{x}
$$\u3092\u3068\u3082\u306b\u6e80\u305f\u3059\u3068\u3059\u308b. \u3053\u306e\u3068\u304d,
$$
x+1> 2\\log_t{(x+1)}
$$\u304c\u6210\u308a\u7acb\u3064\u3053\u3068\u3092\u793a\u305b.
(2) \\(n\\leq 2\\log_2{n}\\)\u3092\u6e80\u305f\u3059\u6b63\u306e\u6574\u6570\\(n\\)\u3092\u3059\u3079\u3066\u6c42\u3081\u3088.
(2024 \u6771\u5317\u5927\u5b66 \u6587\u7cfb [3])<\/span><\/p>\n\n\n\n
\\begin{align}
&x>\\frac{1}{\\sqrt{t}-1}\\\\[1.5ex]
\\iff & x(\\sqrt{t}-1)>1\\\\[1.5ex]
\\iff & \\sqrt{t}-1>\\frac{1}{x}\\\\[1.5ex]
\\iff & \\sqrt{t}>\\frac{1}{x}+1\\\\[1.5ex]
\\iff & \\sqrt{t}>\\frac{x+1}{x}
\\end{align}
$$\u3068\u306a\u308b. \u3053\u3053\u3067, \u4e0a\u306e\u4e0d\u7b49\u5f0f\u3067\u4e21\u8fba\u3068\u3082\u6b63\u3067\u3042\u308b\u306e\u3067, \u4e21\u8fba\u3092\\(t\\)\u3092\u5e95\u3068\u3059\u308b\u5bfe\u6570\u3092\u3068\u308b\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d\u308b. \\(t>1\\)\u3067\u3042\u308b\u304b\u3089, \u5e95\u3092\\(t\\)\u3068\u3059\u308b\u5bfe\u6570\u3092\u3068\u3063\u3066\u3082\u4e0d\u7b49\u53f7\u306e\u5411\u304d\u306f\u5909\u308f\u3089\u306a\u3044\u306e\u3067, $$
\\begin{align}
&x>\\frac{1}{\\sqrt{t}-1}\\\\[1.5ex]
\\iff & \\sqrt{t}>\\frac{x+1}{x}\\\\[1.5ex]
\\iff & \\log_t{\\sqrt{t}}>\\log_t{\\frac{x+1}{x}}\\\\[1.5ex]
\\iff & \\frac{1}{2}>\\log_t{(x+1)}-\\log_t{x}\\\\[1.5ex]
\\iff & 1>2\\log_t{(x+1)}-2\\log_t{x}
\\end{align}
$$\u3068\u306a\u308b. \u3053\u308c\u306f\u524d\u63d0\u3067\u6210\u308a\u7acb\u3063\u3066\u3044\u308b1\u3064\u76ee\u306e\u6761\u4ef6\u5f0f\u3068\u540c\u5024\u3067\u3042\u308b\u304b\u3089, \u3053\u3061\u3089\u306e\u4e0d\u7b49\u5f0f\u3082\u6210\u308a\u7acb\u3063\u3066\u304a\u308a, 2\u3064\u76ee\u306e\u6761\u4ef6\u5f0f\\(\\displaystyle x\\geq 2\\log_t{x}\\)\u3082\u6210\u308a\u7acb\u3063\u3066\u3044\u308b\u306e\u3067, \u8fba\u3005\u3092\u8db3\u3057\u3066, $$
x+1>2\\log_t{x+1}
$$\u304c\u308f\u304b\u308a, \u3053\u308c\u304c\u793a\u3057\u305f\u304b\u3063\u305f\u4e0d\u7b49\u5f0f\u3067\u3042\u308b.<\/p>\n\n\n\n
\\(n=1\\)\u306e\u3068\u304d, \u5de6\u8fba\u306f\\(1\\), \u53f3\u8fba\u306f\\(0\\)\u3068\u306a\u3063\u3066\u6210\u308a\u7acb\u305f\u306a\u3044.
\\(n=2\\)\u306e\u3068\u304d, \u5de6\u8fba, \u53f3\u8fba\u5171\u306b\\(2\\)\u3068\u306a\u3063\u3066\u6210\u308a\u7acb\u3064.
\\(n=3\\)\u306e\u3068\u304d, \u5de6\u8fba\u306f\\(3\\), \u53f3\u8fba\u306f\\(2\\log_2{3}\\)\u3067\u3042\u308b\u304c,
$$
2\\log_2{3}=\\log_2{9}>\\log_2{8}=3
$$\u3068\u306a\u308a, \u6210\u308a\u7acb\u3064\u3053\u3068\u304c\u308f\u304b\u308b.
\\(n=4\\)\u306e\u3068\u304d, \u5de6\u8fba, \u53f3\u8fba\u5171\u306b\\(4\\)\u3068\u306a\u3063\u3066\u6210\u308a\u7acb\u3064.
\u3053\u3053\u3067, (1)\u306b\u3066\\(x=4\\), \\(t=2\\)\u3068\u3057\u3066\u307f\u308b\u3068, (1)\u306e\u524d\u63d0\u3068\u306a\u308b2\u3064\u306e\u6761\u4ef6$$
\\begin{align}
4&>\\frac{1}{\\sqrt{2}-1}=\\sqrt{2}+1=2.41\\cdots\\\\[1.5ex]
4&\\geq 2\\log_2{4}=4
\\end{align}
$$\u304c\u5171\u306b\u6e80\u305f\u3055\u308c\u3066\u3044\u308b\u3053\u3068\u304c\u308f\u304b\u308b. \u3088\u3063\u3066(1)\u306e\u7d50\u679c\u3088\u308a, $$
5>2\\log_2{5}
$$\u3068\u306a\u308a, \\(n=5\\)\u306e\u3068\u304d\u306f\u6210\u308a\u7acb\u305f\u306a\u3044\u3053\u3068\u304c\u308f\u304b\u308b.
\u3053\u308c\u304b\u3089, \\(n\\geq 5\\)\u306e\u3068\u304d\\(n>2\\log_2{n}\\)\u3068\u306a\u308b\u3053\u3068\u3092\u6570\u5b66\u7684\u5e30\u7d0d\u6cd5\u306b\u3088\u308a\u793a\u3059.
\u2460 \\(n=5\\)\u306e\u3068\u304d
\u3053\u308c\u306f\u4e0a\u3067\u793a\u3057\u305f\u306e\u3067\u6210\u308a\u7acb\u3064\u3053\u3068\u304c\u308f\u304b\u308b.
\u2461 \\(n=k\\)\u306e\u3068\u304d\u6210\u308a\u7acb\u3064\u3068\u4eee\u5b9a\u3057\u3066, \\(n=k+1\\)\u306e\u3068\u304d\u3082\u6210\u308a\u7acb\u3064\u3053\u3068\u3092\u793a\u3059.
\u307e\u305a\u4eee\u5b9a\u304b\u3089, $$
k>2\\log_2{k}
$$\u304c\u6210\u308a\u7acb\u3063\u3066\u3044\u308b. \u307e\u305f, \u4eca\\(k\\)\u306f\\(5\\)\u4ee5\u4e0a\u3092\u60f3\u5b9a\u3057\u3066\u3044\u308b\u306e\u3067,
$$
k>\\frac{1}{\\sqrt{2}-1}=\\sqrt{2}+1=2.41\\cdots
$$\u3082\u6210\u308a\u7acb\u3063\u3066\u3044\u308b. \u3053\u306e2\u3064\u306e\u4e0d\u7b49\u5f0f\u306f, (1)\u3067\\(x=k\\), \\(t=2\\)\u3068\u3057\u305f\u3082\u306e\u3067\u3042\u308b.
\u3088\u3063\u3066, (1)\u306e\u7d50\u679c\u304b\u3089,$$
k+1>2\\log_2{(k1+1)}
$$\u3068\u306a\u308a, \\(n=k+1\\)\u306e\u3068\u304d\u3082\u6210\u308a\u7acb\u3064\u3053\u3068\u304c\u308f\u304b\u308b.
\u2460, \u2461\u3088\u308a\u6570\u5b66\u7684\u5e30\u7d0d\u6cd5\u306b\u3066\\(n\\geq 5\\)\u306e\u3068\u304d\\(n>2\\log_2{n}\\)\u304c\u6210\u308a\u7acb\u3064\u3053\u3068\u304c\u793a\u3055\u308c\u305f.
\u3088\u3063\u3066(2)\u306e\u4e0d\u7b49\u5f0f\\(n\\leq 2\\log_2{n}\\)\u3092\u6e80\u305f\u3059\u6b63\u306e\u6574\u6570\\(n\\)\u306f\u5148\u306b\u6c42\u3081\u305f, \\(n=2,3,4\\)\u306e\u307f\u3067\u3042\u308b\u3053\u3068\u304c\u308f\u304b\u3063\u305f.<\/p>\n<\/div><\/div>\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\n