\u6761\u4ef6\uff1a\u5b9f\u6570\u4fc2\u65702\u6b21\u5f0f\\(f(x)\\)\u3068, \u5b9f\u6570\\(c\\)\u304c\u5b58\u5728\u3057\u3066, \\(x\\)\u306b\u3064\u3044\u3066\u306e\u6052\u7b49\u5f0f
$$
\\frac{1}{8}x^4+ax^3+bx^2=f(f(x))+c
$$\u304c\u6210\u308a\u7acb\u3064.
(2025 \u4eac\u90fd\u5927\u5b66 \u6587\u7cfb [2])<\/span><\/p>\n\n\n\n
\u3053\u3061\u3089\u306f\\(f(x)=px^2+qx+r\\)\u306e\u3088\u3046\u306b\u3057\u3066\u8868\u3059\u3068, \u5909\u6570\u304c\u591a\u304f\u306a\u308a, \u4f55\u306b\u5bfe\u3057\u3066\u4f55\u3092\u6c42\u3081\u308b\u554f\u984c\u306a\u306e\u304b\u304c\u308f\u304b\u308a\u306b\u304f\u304f\u306a\u308a\u307e\u3059. \u305d\u306e\u70b9\u306b\u6ce8\u610f\u3057\u3066\u89e3\u3044\u3066\u3044\u304d\u307e\u3057\u3087\u3046.<\/p>\n\n\n\n
2\u6b21\u5f0f\\(f(x)\\)\u306f\u5b9f\u6570\\(p\\neq 0\\), \\(q\\), \\(r\\)\u3092\u7528\u3044\u3066
$$
f(x)=px^2+qx+r
$$\u3068\u8868\u3059\u3053\u3068\u304c\u3067\u304d\u308b. \u3053\u306e\\(f(x)\\)\u306b\u5bfe\u3057\u3066, \\(f(f(x))+c\\)\u3092\u8a08\u7b97\u3059\u308b\u3068,
$$
\\begin{align}
f(f(x))+c&=p(px^2+qx+r)^2+q(px^2+qx+r)+r + c\\\\[1.5ex]
&=p\\left(p^2x^4+2pqx^3+\\left(2pr+q^2\\right)x^2+2qrx+r^2\\right)\\\\[1.5ex]
&\\qquad +pqx^2+q^2x+qr+r+c\\\\[1.5ex]
&=p^3x^4+2p^2qx^3+p\\left(2pr+q^2+q\\right)x^2+(2pqr+q^2)x\\\\[1.5ex]
&\\qquad +pr^2+qr+r+c
\\end{align}
$$\u3068\u306a\u308b.<\/p>\n\n\n\n
\u3053\u308c\u304c, \\(\\displaystyle \\frac{1}{8}x^4+ax^3+bx^2\\)\u3068\u4e00\u81f4\u3059\u308b\u3088\u3046\u306a\\(p\\), \\(q\\), \\(r\\), \\(c\\)\u304c\u5b58\u5728\u3059\u308b\\(a\\), \\(b\\)\u306e\u6761\u4ef6\u3092\u8003\u3048\u3066\u3044\u304f. \u307e\u305a\u6700\u9ad8\u6b21\\(x^4\\)\u306e\u4fc2\u6570\u3092\u6bd4\u3079\u3066,
$$
\\frac{1}{8}=p^3
$$\u3088\u308a, $$
p=\\frac{1}{2}
$$\u3068\u306a\u308a, \u3053\u308c\u3092\\(f(f(x))+c\\)\u306e\u5f0f\u306b\u4ee3\u5165\u3059\u308b\u3068,
$$
\\begin{align}
f(f(x))+c&=\\frac{1}{8}x^4+\\frac{q}{2}x^3+\\frac{1}{2}\\left(r+q^2+q\\right)x^2+q(q+r)x\\\\[1.5ex]
&\\qquad +\\frac{r^2}{2}+qr+c
\\end{align}
$$\u3068\u306a\u308b.<\/p>\n\n\n\n
\u3053\u308c\u304b\u3089\u5404\u4fc2\u6570\u3092\u6bd4\u3079\u3066,
$$
\\begin{align}
a&=\\frac{q}{2}\\,\\,\\,\u30fb\u30fb\u30fb\u2460\\\\
b&=\\frac{1}{2}\\left(r+q^2+q\\right)\\,\\,\\,\u30fb\u30fb\u30fb\u2461\\\\
0&=q(q+r)\\,\\,\\,\u30fb\u30fb\u30fb\u2462\\\\
0&=\\frac{r^2}{2}+qr+r+c\\,\\,\\,\u30fb\u30fb\u30fb\u2463
\\end{align}
$$\u3068\u306a\u308b. \\(c\\)\u306f\u2463\u4ee5\u5916\u306b\u306f\u73fe\u308c\u306a\u3044\u304b\u3089, \u2460, \u2461, \u2462\u3092\u6e80\u305f\u3059\\(q\\), \\(r\\)\u306b\u5bfe\u3057\u3066,
$$
c=-\\frac{r^2}{2}-qr-r
$$\u3068\u304a\u3051\u3070, \u2463\u306f\u5e38\u306b\u6210\u308a\u7acb\u3064\u3088\u3046\u306b\u3067\u304d\u308b. \u2462\u306f, \\(q=0\\) \u307e\u305f\u306f, \\(r=-q\\)\u3067\u3042\u308c\u3070\u6210\u308a\u7acb\u3064\u306e\u3067, \u5404\u5834\u5408\u306b\u304a\u3044\u3066\u2460, \u2461\u304c\u6210\u308a\u7acb\u3064\\(q\\), \\(r\\)\u304c\u5b58\u5728\u3059\u308b\\(a\\), \\(b\\)\u306e\u6761\u4ef6\u3092\u898b\u3066\u3044\u304f.<\/p>\n\n\n\n
1) \\(q=0\\)\u306e\u3068\u304d
\u2460\u3088\u308a\\(a=0\\)\u3068\u306a\u308b\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308b. \u307e\u305f, \u2461\u3088\u308a\\(\\displaystyle b=\\frac{r}{2}\\)\u3067\u3042\u308b\u304b\u3089, \\(b\\)\u306b\u5bfe\u3057\u3066, \\(r=2b\\)\u3068\u3068\u308c\u3070\u2461\u306f\u6e80\u305f\u3055\u308c\u308b. \u3088\u3063\u3066\\(a=0\\)\u3067\u3042\u308c\u3070, \\(b\\)\u306e\u5024\u306b\u4f9d\u3089\u305a\u4e0e\u3048\u3089\u308c\u305f\u6761\u4ef6\u3092\u6e80\u305f\u30592\u6b21\u5f0f\\(f(x)\\)\u3068, \u5b9f\u6570\\(c\\)\u304c\u5b58\u5728\u3059\u308b\u3053\u3068\u304c\u308f\u304b\u308b. \u5177\u4f53\u7684\u306b\u306f,
$$
\\begin{align}
f(x)&=\\frac{1}{2}x^2+2b,\\,\\,\\,\\left(p=\\frac{1}{2}, q=0, r=2b\\right)\\\\[1.5ex]
c&=-\\frac{r^2}{2}-qr-r=-2b^2-2b
\\end{align}
$$\u3068\u3068\u308c\u3070\u3088\u3044.<\/p>\n\n\n\n
2) \\(r=-q\\)\u306e\u3068\u304d
\u2460\u306f, \\(a\\)\u306b\u5bfe\u3057\u3066\\(q=2a\\)\u3068\u3059\u308c\u3070\u6e80\u305f\u3055\u308c\u308b. \u2461\u306f, \\(\\displaystyle b=\\frac{q^2}{2}\\)\u3068\u306a\u308a, \\(q=2a\\)\u3068\u3059\u308b\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308b\u3053\u3068\u304b\u3089, \\(\\displaystyle b=2a^2\\)\u3068\u306a\u308b. \u3064\u307e\u308a, \u4efb\u610f\u306e\\(a\\)\u306b\u5bfe\u3057\u3066\\(b=2a^2\\)\u3067\u3042\u308c\u3070, \u4e0e\u3048\u3089\u308c\u305f\u6761\u4ef6\u3092\u6e80\u305f\u30592\u6b21\u5f0f\\(f(x)\\)\u3068, \u5b9f\u6570\\(c\\)\u304c\u5b58\u5728\u3059\u308b\u3053\u3068\u304c\u308f\u304b\u308b. \u5177\u4f53\u7684\u306b\u306f,
$$
\\begin{align}
f(x)&=\\frac{1}{2}x^2+2ax-2a,\\,\\,\\,\\left(p=\\frac{1}{2}, q=2a, r=-2a\\right)\\\\[1.5ex]
c&=-\\frac{r^2}{2}-qr-r=-2a^2+4a^2+2a\\\\[1.5ex]
&=2a^2+2a\\,(=2a+b)
\\end{align}
$$\u3068\u3068\u308c\u3070\u3088\u3044. \u9006\u306b\\(b\\neq 2a^2\\)\u3067\u3042\u308c\u3070, \u2460, \u2461\u3092\u540c\u6642\u306b\u6e80\u305f\u3059, \\(q\\), \\(r=-q\\)\u306f\u5b58\u5728\u3057\u306a\u3044.<\/p>\n\n\n\n
\u4ee5\u4e0a\u304b\u3089, \u6761\u4ef6\u3092\u6e80\u305f\u3059\u3088\u3046\u306a\\((a, b)\\)\u306f, \\(a=0\\), \u307e\u305f\u306f, \\(b=2a^2\\)\u3067\u3042\u308a, \\((a, b)\\)\u5e73\u9762\u306b\u56f3\u793a\u3059\u308b\u3068\u4ee5\u4e0b\u306e\u3088\u3046\u306b\u306a\u308b.<\/p>\n\n\n\n youtube\u3067\u3082\u89e3\u8aac\u3057\u3066\u3044\u307e\u3059.<\/p>\n\n\n\n![\"\"](\"https:\/\/math-friend.com\/wp-content\/uploads\/2025\/07\/41c0c1e1d55a9607f2d2304414c907a8.jpeg\")
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