\u4eca\u56de\u306f\u3053\u3061\u3089\u306e\u554f\u984c\u3092\u89e3\u3044\u3066\u3044\u304d\u307e\u3059.<\/p>\n\n\n\n
\u81ea\u7136\u6570\\(x, y, z\\)\u3092\u7528\u3044\u3066\\(N=9z^2=x^6+y^4\\)\u306e\u5f62\u3067\u8868\u3059\u3053\u3068\u306e\u3067\u304d\u308b\u81ea\u7136\u6570\\(N\\)\u306e\u6700\u5c0f\u5024\u3092\u6c42\u3081\u3088. \u6574\u6570\u554f\u984c\u306f\u300c\u4f59\u308a\u306b\u6ce8\u76ee\u3059\u308b\u300d\u3053\u3068\u3067\u6761\u4ef6\u304c\u7d5e\u3089\u308c\u89e3\u304d\u3084\u3059\u304f\u306a\u308b\u3053\u3068\u304c\u3042\u308a\u307e\u3059. \u4eca\u56de\u306e\u554f\u984c\u306f\u305d\u306e\u5178\u578b\u3067\u3059. \u554f\u984c\u306b\u51fa\u3066\u304f\u308b\\(9z^2\\)\u304c\\(3\\)\u306e\u500d\u6570\u3067\u3042\u308b\u4e8b\u304b\u3089\\(3\\)\u3067\u5272\u3063\u305f\u4f59\u308a\u306b\u6ce8\u76ee\u3057\u307e\u3059.<\/p>\n\n\n\n \u305d\u308c\u3067\u306f\u89e3\u3044\u3066\u3044\u304d\u307e\u3057\u3087\u3046.<\/p>\n\n\n\n \u307e\u305a\u6700\u521d\u306b, 3\u306e\u500d\u6570\u3067\u306a\u3044\u6574\u6570\u306e\u4e8c\u4e57\u306f\\(3\\)\u3067\u5272\u308b\u3068\\(1\\)\u4f59\u308b\u6574\u6570\u306b\u306a\u308b\u3053\u3068\u3092\u793a\u3059. \u6574\u6570\u554f\u984c\u3067\u306f\u6700\u521d\u306b\u7d39\u4ecb\u3057\u305f\u300c\u4f59\u308a\u306b\u6ce8\u76ee\u3059\u308b\u300d\u306e\u4ed6\u306b\u300c\u7a4d\u306e\u5f62\u3067\u8868\u3059\u300d\u3068\u3044\u3046\u5b9a\u77f3\u3082\u3042\u308a\u307e\u3059. \u4ee5\u4e0b\u3053\u3061\u3089\u306b\u95a2\u3057\u3066\u30b3\u30e1\u30f3\u30c8\u3057\u307e\u3059. youtube\u3067\u3082\u89e3\u8aac\u3057\u3066\u3044\u307e\u3059.<\/p>\n\n\n\n
(2025 \u4eac\u90fd\u5927\u5b66\u7406\u7cfb[2])<\/span><\/p>\n\n\n\n
\u6574\u6570\\(n\\)\u304c\\(3\\)\u3067\u5272\u3063\u3066\\(1\\)\u4f59\u308b\u3068\u304d, \\(n\\)\u306f\u6574\u6570\\(k\\)\u3092\u4f7f\u3063\u3066\\(n=3k+1\\)\u3068\u8868\u305b\u308b\u304b\u3089,
$$
n^2=(3k+1)^2=3(3k^2+2k)+1
$$\u3068\u306a\u308b. \u3088\u3063\u3066, \\(n^2\\)\u3092\\(3\\)\u3067\u5272\u3063\u305f\u4f59\u308a\u306f\\(1\\)\u3067\u3042\u308b.
\u6574\u6570\\(m\\)\u304c\\(3\\)\u3067\u5272\u3063\u3066\\(2\\)\u4f59\u308b\u3068\u304d, \\(m\\)\u306f\u6574\u6570\\(l\\)\u3092\u4f7f\u3063\u3066\\(m=3l+2\\)\u3068\u8868\u305b\u308b\u304b\u3089,
$$
m^2=(3l+2)^2=3(3l^2+4l+1)+1
$$\u3088\u308a, \\(m^2\\)\u3092\\(3\\)\u3067\u5272\u3063\u305f\u4f59\u308a\u306f\\(1\\)\u3067\u3042\u308b.
\u4ee5\u4e0a\u304b\u3089\\(3\\)\u306e\u500d\u6570\u3067\u306a\u3044\u6574\u6570\u306e\u4e8c\u4e57\u306f, \\(3\\)\u3067\u5272\u3063\u3066\\(1\\)\u4f59\u308b\u6574\u6570\u3068\u306a\u308b\u3053\u3068\u304c\u793a\u3055\u308c\u305f.
\u6b21\u306b\u3053\u308c\u3092\u7528\u3044\u3066\u984c\u610f\u3092\u6e80\u305f\u3059\u81ea\u7136\u6570\\(x\\), \\(y\\)\u306f\u5171\u306b\\(3\\)\u306e\u500d\u6570\u3067\u3042\u308b\u3053\u3068\u3092\u793a\u3059.
\\(x\\), \\(y\\)\u304c\u5171\u306b\\(3\\)\u306e\u500d\u6570\u3067\u306a\u3044\u3068\u3059\u308b\u3068, \\(x^3\\), \\(y^2\\)\u3082\\(3\\)\u306e\u500d\u6570\u3067\u306a\u3044\u304b\u3089, \u5148\u306b\u793a\u3057\u305f\u4e8b\u5b9f\u304b\u3089, \\(x^6=(x^3)^2\\), \\(y^4=(y^2)^2\\)\u306f\u3044\u305a\u308c\u3082\\(3\\)\u3067\u5272\u308b\u3068\\(1\\)\u4f59\u308b\u6574\u6570\u3067\u3042\u308b. \u3088\u3063\u3066\u305d\u306e\u548c\\(x^6+y^4\\)\u306f\\(3\\)\u3067\u5272\u3063\u3066\\(2\\)\u4f59\u308b\u81ea\u7136\u6570\u3068\u306a\u308a, \u3053\u308c\u304c\\(3\\)\u306e\u500d\u6570\u3067\u3042\u308b\\(9z^2\\)\u306b\u7b49\u3057\u3044\u3053\u3068\u306b\u77db\u76fe\u3059\u308b.
\u307e\u305f\\(x\\), \\(y\\)\u306e\u3044\u305a\u308c\u304b\u4e00\u65b9\u304c\\(3\\)\u306e\u500d\u6570\u3067, \u4ed6\u65b9\u304c\\(3\\)\u306e\u500d\u6570\u3067\u306a\u3044\u6642\u3082\u540c\u69d8\u306b\\(x^6+y^4\\)\u306f\\(3\\)\u3067\u5272\u3063\u3066\\(1\\)\u4f59\u308b\u81ea\u7136\u6570\u3068\u306a\u308a\u3053\u308c\u3082\u307e\u305f\u77db\u76fe\u3059\u308b.
\u3088\u3063\u3066, \u984c\u610f\u3092\u6e80\u305f\u3059\u3088\u3046\u306a\u81ea\u7136\u6570\\(N\\)\u304c\u5b58\u5728\u3059\u308b\u306e\u3067\u3042\u308c\u3070, \\(x\\), \\(y\\)\u306f\u3044\u305a\u308c\u3082\\(3\\)\u306e\u500d\u6570\u3067\u3042\u308b\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308b.
\u3053\u308c\u304b\u3089, \\(x\\), \\(y\\)\u306b\u5bfe\u3057\u3066, \u81ea\u7136\u6570\\(x^\\prime\\), \\(y^\\prime\\)\u304c\u5b58\u5728\u3057\u3066, \\(x=3x^\\prime\\), \\(y=3y^\\prime\\)\u3068\u304b\u3051\u308b. \u3053\u308c\u3092, \\(9z^2=x^6+y^4\\)\u306b\u4ee3\u5165\u3059\u308b\u3068,
$$
\\begin{align}
&9z^2=(3x^\\prime)^6+(3y^\\prime)^4\\\\[1.5ex]
\\iff & z^2=3^4{x^\\prime}^6+3^2{y^\\prime}^4
\\end{align}
$$\u3068\u306a\u308b. \u53f3\u8fba\u306f\\(3\\)\u306e\u500d\u6570\u3060\u304b\u3089, \\(z^2\\)\u3082\\(3\\)\u306e\u500d\u6570\u3067\u3042\u308a, \u3088\u3063\u3066\u307e\u305f, \\(z\\)\u3082\\(3\\)\u306e\u500d\u6570\u3067\u3042\u308b. \u3053\u308c\u304b\u3089, \\(z\\)\u306b\u5bfe\u3057\u3066, \u81ea\u7136\u6570\\(z^\\prime\\)\u304c\u5b58\u5728\u3057\u3066, \\(z=3z^\\prime\\)\u3068\u8868\u305b\u308b. \u4e0a\u5f0f\u306b\u3053\u308c\u3092\u4ee3\u5165\u3059\u308b\u3068,
$$
\\begin{align}
&(3z^\\prime)^2=3^4{x^\\prime}^6+3^2{y^\\prime}^4\\\\[1.5ex]
\\iff & {z^\\prime}^2=3^2{x^\\prime}^6+{y^\\prime}^4
\\end{align}
$$\u3068\u306a\u308a, \u3055\u3089\u306b\\({y^\\prime}^4\\)\u3092\u79fb\u9805\u3057, \u56e0\u6570\u5206\u89e3\u3059\u308b\u3068,
$$
\\begin{align}
\\iff & {z^\\prime}^2-{y^\\prime}^4=3^2{x^\\prime}^6\\\\[1.5ex]
\\iff & (z^\\prime + {y^\\prime}^2)(z^\\prime – {y^\\prime}^2)=3^2{x^\\prime}^6
\\end{align}
$$\u304c\u5f97\u3089\u308c\u308b. \\(y^\\prime\\), \\(z^\\prime\\)\u306f\u81ea\u7136\u6570\u3067\u3042\u308b\u304b\u3089, \\(z^\\prime + {y^\\prime}^2>0\\)\u306a\u306e\u3067, \\(z^\\prime – {y^\\prime}^2>0\\)\u3067\u3042\u308b\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308b. \u3055\u3089\u306b, \\(z^\\prime + {y^\\prime}^2>z^\\prime – {y^\\prime}^2\\)\u3067\u3042\u308b\u3053\u3068\u306b\u3082\u6ce8\u610f\u3059\u308b.
\u307e\u305a\\(x^\\prime=1\\)\u3068\u3057\u3066, \u3053\u306e\u95a2\u4fc2\u5f0f\u3092\u6e80\u305f\u3059\\((x^\\prime(=1), y^\\prime, z^\\prime)\\)\u3092\u6c42\u3081\u308b. \\(x^\\prime=1\\)\u3088\u308a, \u95a2\u4fc2\u5f0f\u306f
$$
(z^\\prime + {y^\\prime}^2)(z^\\prime – {y^\\prime}^2)=9
$$\u3068\u306a\u308a, \u5148\u306e\u6761\u4ef6\u3088\u308a\u3053\u306e\u95a2\u4fc2\u5f0f\u3092\u6e80\u305f\u3059\u3088\u3046\u306a \\(y^\\prime\\), \\(z^\\prime\\)\u306f,
$$
\\begin{align}
z^\\prime + {y^\\prime}^2&=9\\\\[1.5ex]
z^\\prime – {y^\\prime}^2&=1
\\end{align}
$$\u3068\u306a\u308b\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308b. 2\u8fba\u3092\u8db3\u3059\u3068, \\(2z^\\prime=10\\)\u3068\u306a\u308a, \\(z^\\prime=5\\)\u304c\u308f\u304b\u308b. \u3055\u3089\u306b\\(y^\\prime=2\\)\u306f\u3053\u306e2\u5f0f\u306e\u3069\u3061\u3089\u3082\u6e80\u305f\u3059\u3053\u3068\u304c\u308f\u304b\u308b\u306e\u3067, \\(x^\\prime=1\\)\u306e\u3068\u304d, \\(y^\\prime =2\\), \\(z^\\prime =5\\)\u3068\u4e00\u610f\u306b\u5b9a\u307e\u308b. \u3053\u306e\u3068\u304d, \\((x, y, z)=(3, 6, 15)\\)\u3067\u3042\u308a,
$$
N=9\\cdot 15^2=3^6+6^4=2025
$$ \u3067\u3042\u308b. \u3064\u304e\u306b, \\(x^\\prime\\geq 2\\), \u3064\u307e\u308a\\(x\\geq 6\\)\u306e\u3068\u304d, \\(N=9z^2=x^6+y^4\\)\u3092\u6e80\u305f\u3059\u81ea\u7136\u6570\u306e\u7d44\\((x, y, z)\\)\u304c\u5b58\u5728\u3057\u305f\u3068\u3059\u308b\u3068,
$$
N=x^6+y^4\\geq x^6\\geq 6^6=46656
$$\u3068\u306a\u308a, \\(N\\)\u306f\u5148\u306b\u6c42\u3081\u305f\\(2025\\)\u3088\u308a\u3082\u5927\u304d\u304f\u306a\u308b\u3053\u3068\u304c\u308f\u304b\u308b. \u3088\u3063\u3066, \\(N=9z^2=x^6+y^4\\)\u3092\u6e80\u305f\u3059\u6700\u5c0f\u306e\u81ea\u7136\u6570\\(N\\)\u306f\\(2025\\)\u3067\u3042\u308b.<\/p>\n\n\n\n
\u4eca\u56de\u9014\u4e2d\u3067, \\({z^\\prime}^2=3^2{x^\\prime}^6+{y^\\prime}^4\\)\u3092\u5909\u5f62\u3057, \u4ee5\u4e0b\u306e\u3088\u3046\u306b\u7a4d\u306e\u5f62\u3067\u8868\u3057\u307e\u3057\u305f.
$$
(z^\\prime + {y^\\prime}^2)(z^\\prime – {y^\\prime}^2)=3^2{x^\\prime}^6
$$
\u7a4d\u306e\u5f62\u306b\u76f4\u3055\u306a\u304f\u3066\u3082, \u5909\u5f62\u524d\u306e\u5f0f\u3067\\((x^\\prime, y^\\prime)=(1, 1)\\), \\((x^\\prime, y^\\prime)=(1, 2)\\), \\((x^\\prime, y^\\prime)=(2, 1)\\)\u306e\u3088\u3046\u306b\u4ee3\u5165\u3092\u3057\u3066\u3044\u3063\u3066, \\(3^2{x^\\prime}^6+{y^\\prime}^4\\)\u304c\u5e73\u65b9\u6570\u306b\u306a\u308b\u7d44\u307f\u5408\u308f\u305b\u3092\u63a2\u3057\u3082\u826f\u3044\u3067\u3059.
\u3057\u304b\u3057, \u4eca\u56de\u306e\u554f\u984c\u3067\u306f\u305f\u307e\u305f\u307e\\(x^\\prime=1\\)\u3067\u95a2\u4fc2\u5f0f\u3092\u6e80\u305f\u3059\\(y^\\prime\\), \\(z^\\prime\\)\u304c\u898b\u3064\u304b\u308a\u307e\u3057\u305f\u304c, \u4ed6\u306e\u554f\u984c\u3067\u306f\u7c21\u5358\u306b\u898b\u3064\u304b\u3089\u306a\u3044\u5834\u5408\u3082\u5f53\u7136\u3042\u308a\u307e\u3059. \u3088\u3063\u3066\u4eca\u56de\u306e\u89e3\u6cd5\u306e\u3088\u3046\u306b\u7a4d\u306e\u5f62\u3067\u8868\u3057\u3066, \u6761\u4ef6\u3092\u7d5e\u3063\u3066\u63a2\u3059\u65b9\u304c\u52b9\u7387\u7684\u306a\u5834\u5408\u304c\u591a\u304f, \u4eca\u56de\u306f\u3053\u306e\u89e3\u6cd5\u3092\u63a1\u7528\u3057\u307e\u3057\u305f.
\u300c\u4f59\u308a\u306b\u6ce8\u76ee\u3059\u308b\u300d, \u300c\u7a4d\u306e\u5f62\u3067\u8868\u3059\u300d\u3069\u3061\u3089\u3082\u7fd2\u5f97\u5fc5\u9808\u306e\u89e3\u6cd5\u30d1\u30bf\u30fc\u30f3\u3068\u3057\u3066\u899a\u3048\u3066\u304a\u3044\u3066\u304f\u3060\u3055\u3044.
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